Logističko preslikavanje je pokazalo nevjerojatno bogatstvo dinamičkih pojava. Sustav opisan tim modelom (u ovom slučaju populacija bioloških jedinki) prolazi kroz sve faze koje dinamički sustav može manifestirati. Počinje sa stabilnim fiksnim točkama (točkasti atraktori), preko stabilnih graničnih ciklusa (koje karakterizira kvaziperiodičko titranje u dvije faze: prijelazno stanje i periodičko titranje) te na koncu završava u kaosu uz tipična svojstva koja ga obilježavaju: nepredvidljivost vremenskih nizova i preosjetljivost na početne uvjete. To još uvijek nije sve. Kako ću sada pokazati, ova mala i jednostavna jednadžba manifestira još jedno, možda i najfascinantnije svojstvo kaosa: red.

Bifurkacijski dijagram

Kad je Robertu Mayu postalo jasno da je u režimu kaosa nemoguće vidjeti bilo što gledajući samo pojedine vremenske nizove, pokušao je dobiti širu sliku sustava... Kao što sam pokazao, nije toliko bitno iz koje točke krenete već je bitno koliko je parametar $latex r$ te gdje ste uz takav parametar završili (u jednoj točki, graničnom ciklusu ili kaosu). To se može sumarizirati na jednom jedinom dijagramu. Takav dijagram onda daje sliku sustava za sve $latex r$.

Princip je sljedeći. Na x-os nanosite vrijednost biotičkog potencijala. Za svaku točku na x-u izračunate vremenski niz vrijednosti populacije. Ako za $latex r$ dobijete jednu stabilnu vrijednost ucrtate nju, ako dobijete periodički niz ucrtate sve vrijednosti niza iznad te točke na x-u... Uglavnom, dobijete nešto ovakvo:

Dijagram se naziva bifurakcijski dijagram, a proces grananja fiksnih točaka ovisno o nekom parametru bifurkacija.

• Za $latex r \leq 1$ Postoji samo jedna fiksna točka - populacija izumire.
• Za $latex 1 < r \leq 3$ populacija ima također jednu fiksnu točku - preživljavanje
• U $latex r = 3$ dolazi do prvog pucanja: pojavljuje se atraktor perioda 2, tj. populacija sada ima dvije fiksne točke. Povećanjem $latex r$ period oscilacije postaje sve duži i duži.
• U $latex r \approx 3,5$ period se, nakon što se rastegnuo koliko god je mogao, udvostručuje te imamo atraktor perioda 4.
• U području kaosa za $latex r > 3,6$ , x za dani r prolazi kroz praktički sve vrijednosti nekog pod intervala intervala [0, 1].

Oke, ništa što do sada nismo znali, zar ne? Dakle, povećanjem $latex r$ dolazi do višestrukih udvostručenja perioda atraktora. Negdje oko $latex r = 3,6 $ odjednom stvar pukne i nađemo se u kaosu. Sada bismo očekivali da stvar bude jednostavna. Daljnjim povećanjem perioda, sustav postaje sve kaotičniji. Na krajnjoj vrijednosti od $latex r = 4$, x prelazi preko svih vrijednosti u intervalu [0,1]: cijeli interval je postao atraktor.

Kaskade perioda 3

Neće ići. Pojavljuju se praznine u dijagramu. Što one znače? Pokušajte dobiti vremenski niz s parametrom 3,835 (duboko u kaotičnom području) i voila:

granični ciklus perioda tri, populacija stabilno titra između tri vrijednosti zauvijek:

$latex ... \rightarrow 0,1521 \rightarrow 0,4945 \rightarrow0,95686 \rightarrow ...$

Kaosa kao da i nije bilo... Daljnjim povećanjem r ovo titranje prolazi sve faze udvostručenja perioda, pojavljuju se atraktori perioda 6, 12, 24,... Na kraju opet završi u kaosu. To je značenje bijelih pruga u sivim vrpcama kaosa. Sustav ne samo da prelazi iz reda u kaos, nego se duboko u režimu kaosa nalaze mali prozori reda. Kaos i red se izmjenjuju u neobičnoj igri. No, ni to još nisu sva iznenađenja koja nam je kaotični majmun pripremio...

Fraktalna svojstva bifurkacijskog dijagrama

Da bi se dobila još bolja slika sustava nije dovoljno samo povećavati biotički potencijal. Treba ga povećavati u sve sitnijim koracima. To je pak ekvivalentno tome da uzmete komadić gornjeg dijagrama, izrežete ga i povećate. Sada umjesto da promatrate r na intervalu [0, 4] gledate na intervalu npr. [3, 3.5]... Ili možda na intervalu [3.5678943, 3.5678945]... Danas, uz pomoć računala, to je relativno jednostavan posao. U doba Maya i Feigenbauma to je bio posao od par dana/tjedana čačkanja po kalkulatoru, računanja vremenskih nizova i ucrtavanja rezultata na dijagram... Nije da nisu imali računala, ali uz to što su bila spora, pristup njima je bio vremenski ograničen i većina se znanstvenika umjesto da čeka svojih par sati u danu (ili čak tjednu) pristupa računalu, i dalje služila puno pristupačnijom metodom: kalkulatorom, olovkom i papirom.

Ako dakle napravite dijagram za podinterval intervala vrijednosti dobijete nešto ovakvo:

Nad nekim podintervalom intervala [0, 4] rekonstruirani bifurkacijski dijagram ima gotovo potpuno isti izgled. Takvo zoomiranje se naravno može nastaviti u nedogled jer se zasniva čisto na računanju sa sve više i više decimalnih mjesta, a ne na fizičkom povećanju slike. Riječ je samo o tome koliko jako računalo imate ili, u neka davna vremena koliko strpljenja s kalkulatorom imate...

Izrazita samosličnost, zadržavanje oblika bez obzira na skalu (povećanje)... Naravno, bifurkacijski dijagram je fraktal. Fraktali->kaos->fraktali->kaos.... jedno ne ide bez drugoga...

Početak igre velikog igrača...

Malo povijesti. Robert May je 1971. g. proučavao logističko preslikavanje kao mogući model ponašanja populacije bioloških jedinki. Uz njega su iste godine još trojica znanstvenika (Nicholas Metrropolis, Paul Stein i Myron Stein) radili na istoj stvari i otkrili začuđujuću kompleksnost ove male jednadžbe. Feigenbaum se s druge strane interesirao za nelinearne probleme. Do tada je već isprobao sve poznate pristupe nelinearnosti, međutim nijedan mu se nije činio zadovoljavajući. Paul Stein ga je obavijestio o otkrićima vezanima uz populacijsku jednadžbu. Feigenbaum je smatrao kako su stvari postale još gore: "Ako je najjednostavnije nelinearno preslikavanje praktički neshvatljivo, kakve onda nade ima za realističnu nelinearnu dinamiku?"

Prikaz dinamičkog sustava pomoću bifurkacijskog dijagrama odigrati će ključnu ulogu u Feigenbaumovom radu... Pokušavajući nastaviti tamo gdje je May stao, Feigenbaum je prvo počeo crtati to čudesno smokvino stablo... Naravno, trebale su mu brojke. Nije bilo tako lako dobiti pristup računalu, a njegov kalkulator, iako ga je bilo moguće programirati, je radio prilično sporo... Trebalo je nekako ubiti vrijeme dok je čekao da se iskristalizira sljedeća točka na bifurkacijskom dijagramu... Sam dijagram i ovo"ubijanje vremena" biti će ključni za Feigenbaumovo otkriće...

…to be kontinjued…

Vidjeli smo do sada da jednostavna (ali nelinearna) jednadžba zvana logističko preslikavanje može biti korištena kao grub ali prilično ilustrativan model pri proučavanju populacijske dinamike:

$latex x_{n+1} = r x_n (1-x_n)$

Kao i kod svih dinamičkih sustava, zanima nas (dugoročno) predviđanje ponašanja konkretnog sustava za različite početne uvjete. Sustav smo konkretizirali odabirom parametra rasta populacije ($latex r$, poznat još i pod imenom biotički potencijal) te smo odabirom početnih uvjeta ($latex x_0$) promatrali ponašanje sustava u diskretnim vremenskim razmacima iterirajući danu jednadžbu.

Mogli smo opaziti da bez obzira na početne uvjete sustav uvijek završi u jednom od dva stabilna stanja: populacija ili preživi ili izumre. Naš dinamički sustav se ponaša potpuno deterministički. Sada ćemo vidjeti da stvari postaju malo složenije. Ako dopustimo da biotički potencijal naraste iznad 3, stvari se polako otimaju kontroli...

U početku bijaše...manje od 3

Podsjetimo se. Za bilo koju vrijednost parametra $latex r$ između 0 i 3, populacija će se stabilizirati na nekoj vrijednosti ovisnoj samo o $latex r$ (ne i o $latex x_0$). Grafički, za jedan takav sustav, to izgleda ovako:

Može se pokazati da vrijedi sljedeći teorem.

TM1 Logističko preslikavanje ima dvije fiksne točke. (fiksna točka nekog preslikavanja je točka koja se preslikava sama u sebe, tj. vrijedi $latex f(x_f) = x_f$)

dokaz Uvjet da bi naša jednadžba imala fiksnu točku glasi:

$latex r x_f (1-x_f) = x_f $

Nakon što malo raspišemo dobivamo:

$latex x_f (rx_f + 1 - r) = 0$

Iz čega direktno slijede rješenja kao sljedeće dvije točke $latex x_{f1} = 0$ i $latex x_{f2} = \dfrac{r-1}{r}$

QED

Vidimo da druga fiksna točka postoji samo ako je r > 1 jer u protivnom fiksna točka postaje negativan broj koji nije dio domene logističkog preslikavanja (striktno govoreći jest, ali se ne uzima jer nema fizikalnog značenja - populacija ne može biti negativna).

Uvedimo sada pojam stabilnosti fiksne točke. Da bismo odredili stabilnost neke točke preslikavanja moramo promatrati ponašanje prve derivacije danog preslikavanja u točki kojoj želimo provjeriti stabilnost. Za fiksnu točku x preslikavanja f vrijedi sljedeće:

• |f' (x)| < 1 - stabilna Stabilne fiksne točke signaliziraju mogućnost dugoročnog predviđanja. Fizikalno predstavljaju mjesta nečeg što je poznato kao termin stabilne ravnoteže. Analogija s kuglicom na dnu zdjele: ako malo pomaknete kuglicu ona se zakotrlja i opet vrati na dno zdjele. Analogija s tekućinom: stabilne točke se nazivaju i ponorima - tekućina utječe u njih. Kako se stabilne fiksne točke ponašaju poput magneta za sve oko njih, iz latinskog je preuzet naziv koji se u dinamici često rabi: atraktori.
• |f' (x)| > 1 - nestabilna Nestabilne fiksne točke. Analogne su pojmu labilne ravnoteže. Dokle god se nalazite u samoj nestabilnoj točki ne idete nikamo. Međutim, minimalni pomak u okolinu te točke rezultira nepovratnim udaljavanjem od nje. Ovo se može zamisliti kao kuglica na brežuljku: može se postići da stoji na njemu ali i najmanji pomak i ona se kotrlja prema dnu - sama od sebe neće se vratiti natrag u ravnotežno stanje na vrhu brežuljka. U analogiji s fluidima, ovakve točke se nazivaju izvorima.

mala napomena: Ovo nije potpuna karakterizacija fiksnih točaka. Ovim problemom se bavio i elegantno ga riješio (za dvije dimenzije) Poincare. U jednom od sljedećih članaka ću to obraditi...

Malo računanja nam daje sljedeće:

• $latex x_{f1} = 0$ je stabilna za $latex 0 \leq r < 1$
• $latex x_{f2} = \dfrac{r-1}{r}$ je stabilna za $latex 1 < r < 3$

Stabilnost danih fiksnih točaka se manifestira upravo u činjenici da za bilo koji početni uvjet $latex x_0$ naš sustav (prije ili kasnije) završi na kraju u jednoj od tih točaka (pod uvjetom da je i biotički potencijal unutar zadanih vrijednosti).

Geometrijska interpretacija

Uz čisto numeričko iteriranje naše funkcije, postoji još jedan, geometrijski način da se promatra iteracija . To je metoda pomoću tzv. paučinastih dijagrama. prednost ove metode je ilustrativnost i elegancija iz čega je uvijek lakše nešto zaključiti nego kada baratate hrpom suhih brojaka.

Ideja je sljedeća. Znamo da je $latex x_{n+1} = f(x_n)$. To znači da moramo na horizontalnu os nanijeti točku $latex x_n$ i iz nje krenuti vertikalno dok ne udarimo u graf funkcije $latex y = f(x_n)$. Sada tako dobivena vrijednost mora biti ponovo nanesena na horizontalnu os kako bi se mogla upotrijebiti za novu iteraciju. Najlakši (!?) način da y-vrijednosti ponovo nanesemo na x-os je da presavijemo x-y ravninu oko pravca y=x. Iz ovoga su ljudi napravili sljedeći algoritam za iteriranje našeg preslikavanja:

• počni s $latex x_o$ na x-osi
• crtaj vertikalnu liniju dok ne udariš graf funkcije f(x)
• pomakni se horizontalno do pravca y=x
• pomakni se vertikalno (gore ili dolje) do grafa f(x)
• ponavljaj zadnja dva koraka generirajući nove točke

Zbunjeni? Izgleda vrlo jednostavno jednom kad se nacrta:

Odmah se vidi da (u okviru zadanog r) ovaj sustav ima jedan točkasti atraktor.

Nešto je u broju 3: put u kaos

Počnimo sada polako povećavati biotički potencijal iznad brojke 3. Dešava se nešto neobično. Sustav je izbačen iz ravnoteže i traži novi ravnotežni položaj. Za $latex r = 3,2$ i $latex x_0 = 0,3$ nakon početne nestabilnosti niz brojeva izgleda ovako:

$latex ... \rightarrow 0,7995 \rightarrow 0,5130 \rightarrow 0,7995 \rightarrow 0,5130 \rightarrow ...$

tj. sustav ulazi u stabilnu oscilaciju između dva broja ili, kako se to češće kaže sustav oscilira s periodom 2:

Što se tu zapravo desilo? Fiksne točke i dalje postoje. Ako sustav krene iz jedne fiksne točke, uopće neće doći do oscilacije. populacija se neće uopće mijenjati s vremenom. Međutim, čim malo odlutate od fiksne točke, sustav odlazi u oscilaciju.

Nastavimo povećavati biotički potencijal. Nakon nekog vremena niz brojeva doživljava još jednu nestabilnost te izgleda ovako:

Primjećujete pravilnost? Sustav i dalje pokušava ostati u ravnoteži. Period dva nije više bio dovoljan. Sada populacija oscilira između četiri vrijednost, odnosno s periodom četiri. Period se udvostručio, a atraktor ima četiri točke. Nastavimo li i dalje povećavati biotički potencijal, period titranja se nastavlja udvostručavati. Pojavljuju se atraktori perioda 8, 16, 32, ... Međutim, u jednom trenutku stvar pukne:

Period se udvostručio praktički u beskonačnost. U tom trenutku sustav za dva gotovo ista početna uvjeta može dati potpuno različite vremenske nizove (na donjoj slici početni uvjeti se razlikuju za samo 0,001):

Nepravilnost dobivenih vrijednosti iz determinističke jednadžbe. Osjetljivost na početne uvjete. Očito je, ušli smo u područje kaosa.

Što se zapravo desilo? May nije mogao vjerovati. Jedan te isti sustav koji se ponašao tako pristojno jednostavno je poludio. Iz potpuno stabilnog i predvidljivog stanja, preko kvazistabilnog periodičkog, sustav je otišao u nešto što je izgledalo kao hrpa slučajnih brojeva. Vrijednosti koje je dobio nije mogao objasniti. Probao je mnogo simulacija povećavajući biotički potencijal u sve manjim koracima s uvijek istim rezultatom. Bio je zadivljen kompleksnošću koju je dobio. Nije uočio uzorak koji će kasnije postati legendarnim...

Duboko u području kaosa oscilacije izgledaju potpuno nepravilne i nepredvidljive. Ova pojava je dugo vremena bila zanemarivana i nitko se nije ni trudio dublje je proučiti. Pogledate li gornju sliku, to i ne čudi. Tko bi pomislio da ovdje postoji ikakva pravilnost? Kako će se pokazati, sustav i dalje skakuće po "ravnotežnim" stanjima. Ona su neobična, teško ih je na prvi pogled otkriti... Zapravo, populacija i dalje ima atraktor. Samo je malo čudan. Da bi ga se otkrilo bilo je potrebno računalo ili čovjek koji ima volje puno tipkati po kalkulatoru i još k tome malo varati i pokušati razmišljati unaprijed... Nekoliko godina nakon izlaska Mayevog članka, njegov rad dolazi u ruke Feigenbaumu i on shvaća kako je upravo takav primjer tražio da bi mogao započeti svoj rad...

…to be kontinjued…

Reference:

• Interactive Logistic map - nekoliko prekrasnih java apleta koji omogućuju interaktivno istraživanje kako vremenskih nizova tako i paučinastih dijagrama logističkog preslikavanja.
• Logistic Equation: Parable of parabola - Još malo matematičke pozadine logističkog preslikavanja (objašnjenja stabilnosti fiksnih točaka i graničnih ciklusa)
• Razni Java Apleti - vezani uz logističko preslikavanje ali i kaos općenito.
• Introduction to Nonlinear Dynamics in the Logistic Map
• Graphical method explained
• "Simple mathematical models with very complicated dynamics", Robert M. May

Godine 1979. jedan je nadasve neobičan čovjek otkrio nadasve neobičnu činjenicu. Stvar je bila tako malo vjerojatna da ni sam u početku nije vjerovao... U pokušaju dokazivanja onog što mu se na trenutak ukazalo potrošio je mnogo kofeina i nikotina te na kraju gotovo nastradao od iscrpljenosti... Uz dokaz da nije moguće preživjeti mjesece napornog rada koristeći samo kavu, cigarete i džepni kalkulator, pružio je i kvalitativan dokaz jedne neobične matematičke pojave koja se manifestira u svima (ali baš svim!) kaotičnim sustavima. Čovjek se zvao Mitchell Jay Feigenbaum.

Kao jedan od vrhunski američkih fizičara tog vremena, Feigenbaum je radio u kompleksu Los Alamosa. Riječima Iana Stewarta: "Neki od njegovih kolega ne bi se složili s tom riječju - radio - jer nitko nije baš točno znao na čemu to Feigenbaum radi. Čak ni sam Feigenbaum!" Kao dio znanstvene elite tog vremena, bio je oslobođen standardne groze akademskog života: dužnosti da predaje i objavljuje radove. U to vrijeme je fizika čestica bila u zamahu, svi koji su mislili o ikakvoj karijeri u fizici, bavili su se njome. Količina magisterija i doktorata iz tog područja i u to vrijeme bila je ogromna, a Los Alamos je bio jedan od velikih svjetskih centara u kojem su se mogli vršiti eksperimenti i istraživanja tog tipa. Feigenbaum je bio dio svega toga. Često se znalo desiti da mu kolege dođu s nekim problemom koji bi im on pomogao riješiti. Oni koji se tada radili tamo kažu kako je Feigenbaum to radio usputno, pokazujući golemo znanje, ali gotovo nikakav interes za uzbudljiv subatomski svijet. Sam nije započinjao nikakva istraživanja. Ono po čemu je ubrzo nakon dolaska u Los Alamos postao poznat bile su njegove dugačke šetnje po okolnim brdima s obvezatnom cigaretom u ustima i rastresenim pogledom koji zuri u nebo. Umjesto da radi, Feigenbaum je promatrao oblake...

Da bih pokazao što je to zapravo otkrio uzet ću školski primjer, kako ga Stewart naziva: "veseli majmun u kavezu teorije kaosa", primjer koji se nalazi u svim knjigama o kaosu. Naravno, upravo na proučavanju tog majmuna Feigenbaum je došao do svog otkrića. I naravno, kao i mnogo toga u teoriji kaosa, majmun u početku nije imao nikakve veze s fizikom. Zapravo, u vrijeme kad je Feigenbaumu došao u ruke, više nije imao veze s ničim osim s podučavanjem studenata prve godine studija biologije i/ili ekologije kao povijesni primjer pokušaja modeliranja rasta populacije bioloških jedinki; povijesni primjer koji se više ne koristi jer postoje bolji i razvijeniji modeli za tu svrhu.

Logističko preslikavanje (populacijska jednadžba)

Zamislite da imate malu baru ili jezerce i u njemu populaciju riba koju možete izbrojati. Recimo da želite predvidjeti koliko riba će biti u toj bari sljedeće godine u isto vrijeme. Svakome tko se iole bavio biologijom biti će odmah jasno da na odgovor na to pitanje utječe nekoliko faktora poput količine dostupne hrane, postojanje i broj grabežljivaca koji se hrane vašim ribama, eventualna pojava bolesti i otpornost na istu, itd... Međutim, u najjednostavnijem modelu, populacija riba iduće godine ovisit će samo o broju riba ove godine. To možemo zapisati kao jednostavnu rekurzivnu formulu:

$latex x_{n+1} = F (x_n) $

pri čemu je:

• $latex x_{n+1}$ - broj riba iduće godine,
• $latex x_n $- trenutni broj riba,
• $latex F$ - funkcijska ovisnost $latex x_{n+1}$ o $latex x_n$

Ako sad znate broj riba u tekućoj godini i na koji način broj riba u sljedećoj godini ovisi o trenutnom broju riba ($latex F$) tada možete izračunati broj riba u idućoj godini... Ponavljajući postupak (iterirajući), uvijek uvrštavajući trenutnu vrijednost broja riba da biste dobili sljedeću, možete promatrati kako se populacija mijenja kroz godine. Očito je da ćete dobiti bitno različite nizove vrijednosti za različito odabrane F $latex F$. Ili možda ipak? O tome malo kasnije... Za ekologe je sigurno najbitnije pitanje: koji $latex F$ uopće odabrati?

Najjednostavnije bi bilo misliti kako će svake godine populacija porasti za neki postotak. Ovo bi bio idealan teoretski slučaj sustava u kojem nema ograničavajućih faktora za populaciju (nema grabežljivaca, bolesti i hranidbeni resursi su neograničeni). U tom slučaju bi naša jednadžba poprimila ovakav (čisto linearni) oblik:

$latex x_{n+1} = rx_n$

pri čemu $latex r$ jednostavno određuje koliko puta populacija poraste u godinu dana. Ovakav model daje:

• neograničen rast populacije za $latex r \geq 1$
• neograničen pad populacije za $latex 0 \leq r < 1$

Naravno, sasvim je očito da ovo nije realističan model. Realno se dešava nešto drugo. Populacija neko vrijeme raste. Zatim zbog ograničenih resursa u ekosistemu raste sve sporije dok ne dosegne neku kritičnu točku nakon koje počinje opadati. Opada sve dok se resursi ne oporave te opet počinje rasti. Kroz dugi niz godina, može se desiti da se ustali na nekoj stabilnoj vrijednosti ili ne, što opet ovisi o sustavu. Kako ovo modelirati?
1971. ekolog i matematičar Robert May bavio se jednostavnim modelom populacijske dinamike proizašlim iz općenite populacijske jednadžbe. Njegov model bio je ovakav:

$latex x_{n+1} = r x_n (1-x_n)$

Imamo sada dva faktora koji nam određuju populaciju: $latex x_n$ i $latex 1-x_n$ te naravno faktor rasta $latex r$. S obzirom da $latex 1-x_n$ opada kada $latex x_n$ raste i obrnuto, ovim jednostavnim modelom moguće je teoretski prikazati ponašanje populacije koje je puno bliže realnoj situaciji. Ostaje još pitanje izbora faktora $latex r$. I tu sada nastaju problemi. Što se faktora rasta $latex r$ tiče, možete jednostavno početi od nule i povećavati ga, te tako za svaku dobivenu jednadžbu ubaciti par početnih x-eva i pogledati kako se ponaša populacija kroz godine. Zapravo, dosadan numerički posao kojeg je i May probao raditi i to u vrijeme kad su računala bila alat kojem su malobrojni znanstvenici vjerovali i kojeg su još malobrojniji od njih aktivno koristili.

Ja imam malo više sreće pa mogu na računalu isprobavati što se događa. Probajmo... Za $latex r = 1,9$ i početnu populaciju $latex x_0 = 0,359$ dobivam niz vrijednosti:

$latex 0,359 \rightarrow 0,4372 \rightarrow 0,4675 \rightarrow 0,4730 \rightarrow 0,4736 \rightarrow 0,4737 \rightarrow 0,4737 \rightarrow 0,4737 ...$

Populacija se ustali na vrijednosti 0,4737 nakon svega nekoliko godina. Ovo nije uvijek tako. Zapravo sistematski to izgleda ovako:

• $latex 0 \leq r \leq 1$ - populacija će izmurijeti bez obzira na vrijednost $latex x_0$
• $latex 1 < r \leq 2$ - populacija konvergira broju $latex \dfrac{r-1}{r}$
• $latex 2 < r \leq 3$ - populacija također konvergira broju $latex \dfrac{r-1}{r}$, međutim prije nego se ustali oscilira neko vrijeme oko te vrijednosti. Kad $latex r$ dostigne 3, konvergencija je jako spora ali populacija na kraju ipak dostiže stabilno stanje.
• Za $latex r \geq 4$ populacija divergira u $latex \pm\infty $ za gotovo svaki početni $latex x_0$
• $latex 3 < r < 4$ dešavaju se zanimljive stvari o kojima će biti riječi u nastavku. Zapravo, populacija se počinje ponašati kaotički.

Ono što se Mayu desilo u jednom trenutku bila je posljedica evidentne nelinearnosti gore navedene jednadžbe. Način na koji je May postupio bio je simptomatski za cijelu znanost do druge polovice dvadesetog stoljeća. U jednom trenutku vrijednosti populacije za odabrani $latex r$ su počele izgledati potpuno nepredvidljive i nepravilne. May je odredio kad se to točno desi (za koji $latex r$) i tu je stao. Zašto? Pa naravno, jednadžba je nelinearna i u određenom trenutku nelinearnost se počinje manifestirati. To je trenutak u kojem model prestaje biti zanimljiv. Znanost teži "čistim" modelima koje je (relativno) lako kontrolirati i iz njih izvlačiti zaključke. Kad se u modelu pojavi nelinearnost, model postaje neupotrebljiv za proučavanje: linearan dio modela je zanimljiv, zar ne?

Dakle, May jednostavno kaže: model se ponaša pristojno do te i te mjere, a nakon toga postaje neupotrebljiv. Guranje smeća pod tepih? Kosturi u ormaru? To su neke stvari koje mi padaju na pamet. Ako nagomilate probleme pod tepihom kad tad će vam eksplodirati u lice. Vidjet ćemo da su stvari puno zanimljivije nego što je May vidio. A to će se desiti onog trenutka kad Feigenbaum nabasa na veselog majmuna kaosa....

…to be kontinjued…

Dodaci:

- Logističko preslikavanje - tablica - Ako imate Microsot Excell, možete downloadati tablicu u kojoj je moguće promatrati što se događa s populacijom riba ako mijenjate parametre r i x0 kod logističkog preslikavanja...