• descargar aqui

PD : Deben de tener el "Winrar" ya que las practicas estan comprimidas en rar.

(Cliquem nas fotos para ampliar)

Pobre garoto, perdeu a cabeça na aula de calculo!

Mate-me por favor!!!!!

Issaêê! Durmiu na aula a gente alopra!!!!

Computador do menino que trabalhava no laboratório.
Sim, ele carregava essa maleta! HAHAHAHAH

A maneira MAIS BICHA de alguém abreviar "Geometria Analítica"

Pois bem, como já dizia minha Avó: O Importante é que todos tem saúde! (saúde física, a mental não vem ao caso, HAHAHAHHAA)

Nome: Cônicas e Quádricas

Autor: Jacir J. Venturi.
Idioma: Português
Número de páginas: 243
Formato: PDF
Tamanho do arquivo: 4 MB
Referência: VENTURI, J. J. Cônicas e quádricas. 5 ed. disponível em <http://www.geometriaanalítica.com.br>

Download: PDF

Nome: Álgebra Vetorial e Geometria analítica

Autor: Jacir J. Venturi.
Idioma: Português
Número de páginas: 239
Formato: PDF
Tamanho do arquivo: 4,4 MB
Referência: VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. disponível em <http://www.geometriaanalítica.com.br>

Download: PDF

Nome: Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial, 3ª edição

Autor: Ivan de CAMARGO, Paulo BOULOS.
Idioma: Português
Número de páginas: 387
Formato: PDF
Tamanho do arquivo: 3,5 MB
Referência: BOULOS, P.;CAMARGO, I.. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial. 3ed. São Paulo: Makron Books, 2005.

Link do Submarino

Download: Rapidshare (Parte única)

Louis Leithold

Este libro está enfocado a estudiantes de ingeniería u otra profesión interesados en el estudio del calculo. Este libro es uno de los más completos que he conseguido, trata sobre limites, derivadas e integrales.
Este libro está dividido en catorce capítulos que pueden clasificarse en dos partes: capítulos 1-9, en los que se estudian funciones de una variable y series infinitas; capítulos 10-14, en los que se tratan vectores y funciones de más de una variable.

DESCARGAR LIBRO AQUI (Sin Publicidad)

Livro Cônicas e Quádricas.pdf

Ideal para aquellos que inician el cálculo en su último año de preparatoria, o como libro de consulta durante el primer año de universidad.

Es hecho bajo una estructura matemática rigurosa, pero muy entendible gracias a que asocia la evolución del cálculo con la geometría analítica, lo cual impacta más por ser un medio visual del entendimiento del cálculo.

Descargar Libro (Enlace Directo)

Calculamos la intersección de las dos circunferencias. Las restamos para obtener una ecuación lineal.
$latex x^2+y^2-8x-6y+17 -x^2-y^2+18x+4y-67=0$
$latex 10x-2y-50=0 \rightarrow 5x-y-25=0 \rightarrow 5x-25=y$

Sustituimos en la ecuación de alguna de las circunferencias, por ejemplo la primera:
$latex x^2+(5x-25)^2-8x-6(5x-25)+17=0$
Desarrollamos y agrupamos $latex 26x^2-288x+792=0 \rightarrow 13x^2-144x+396=0$
Las soluciones son $latex \left ( \dfrac{66}{13}, \dfrac{5}{13} \right )$ y $latex (6, 5)$. Que son dos puntos de la circunferencia incógnita.

Si el centro está sobre el eje X tiene la forma (x, 0) y la distancia a los dos punto de paso será igual (el radio).
$latex \left (x- \dfrac{66}{13} \right )^2+ \dfrac{25}{169}=(x-6)^2+25$
La resolvemos y el centro es $latex (19, 0)$.

Obtenemos el radio calculando la distancia a uno de los puntos de corte de C1 y C2

$latex r^2= (19-6)^2+(5-0)^2= 194$
La circunferencia que nos piden es $latex (x-19)^2+y^2=194$

Si el centro del rectángulo está en el origen de coordenadas, El punto (0,0) es el punto medio de las diagonales de longitud 10. Un punto de la diagonal será $latex (x_A , y_A)$ y el otro $latex (x_B , y_B)$.

Como el punto media es 0:
$latex \dfrac{x_A+x_B}{2}=0 \rightarrow x_A=-x_B$ (1)
$latex \dfrac{y_A+y_B}{2}=0 \rightarrow y_A=-y_B$ (2)

La longitud de la diagonal es 10:
$latex \sqrt{ (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=10$
Elevando al cuadrado y utilizando (1) y (2)
$latex 4x^2+4y^2=100 \rightarrow x^2+y^2=25$

Como una diagonal está sobre la recta $latex y= \dfrac{4x}{3}$
$latex x^2+ \dfrac{16x^2}{9}=25 \rightarrow \dfrac{25x^2}{9}=25 \rightarrow x= \pm 3$
Si $latex x= 3 \rightarrow y= 4$
Si $latex x= -3 \rightarrow y= -4$
Estos son los puntos que delimitan una de las diagonales. (3, 4) y (-3, -4)

Uno de los lados tiene pendiente -2
Recta que pasa por (3, 4) y tiene pendiente -2: $latex r_1:y-4=-2(x-3)$
Recta que pasa por (-3, -4) y tiene pendiente -2: $latex r_2:y+4=-2(x+3)$

Para obtener los otros vértices:
1)recta perpendicular a $latex r_1$ que pasa por $latex (3, 4)$: $latex y-4=\dfrac{1}{2}(x-3)$
2)Intersección de está recta con $latex r_2$:$latex y+4=-2(x+3)$

$latex \left. \begin{array}{rcl} y-4=\dfrac{1}{2}(x-3) \\ y+4=-2(x+3) \end{array} \right\}$
La solución es $latex (- 5, 0 )$

3)recta perpendicular a $latex r_2$ que pasa por $latex (-3, -4)$: $latex y+4=\dfrac{1}{2}(x+3)$
4)Intersección de está recta con $latex r_1$: $latex y-4=-2(x-3)$
$latex \left. \begin{array}{rcl} y+4=\dfrac{1}{2}(x+3) \\ y-4=-2(x-3) \end{array} \right\}$
La solución del sistema es $latex (5, 0)$

Estos puntos (-5, 0 )y (5, 0) conforman otra diagonal de 10 unidades cuyo punto medio es el origen

Ahora ya calculas la longitud de los lados y calculas el área con basex X altura:

$latex \sqrt {(5-3)^2+(0-4)^2} \cdot \sqrt{ (3+5)^2+ (4-0)^2}=40$

Hace gráficas de funciones de una manera sencilla, aún dependiendo de parámetros, lo que nos permitirá la realización de ejercicios para nuestro alumnado con el fin de que investiguen el efecto con el cambio de los valores de los parámetros.

No se si será un programa muy complicado, pero desde luego que parece muy interesante, sobre todo para explicar movimientos tridimensionales que muchas veces son poco reconocidos por los medios bidimensionales que tradicionalmente el profesorado ha utilizado (libros, pizarra...)

Lo podeís descargar pinchando aquí

El final.

Ahora bien en la “fórmula” de Descartes (X²=4pY) el valor de p siempre es la distancia que existe del vértice al foco, y el foco para el caso de la parábolas con vértice en el origen puede ser que esté en el eje de las X o en el de las Y, y puede ser también que tenga valor sea positivo o negativo, todo depende de cómo y hacia donde se abre la parábola.

Si la Parábola se abre hacia arriba p es mayor que cero. Si se abre hacia abajo p es menor que cero. Si se abre hacia la derecha p es mayor que cero. Si se abre hacia la izquierda p es menor que cero.

Todo lo anterior parte de un a-na-li-sis de las figuras.

Volviendo al problema que nos ocupa, si tenemos: Y=2X² que “reacomodándola” es igual a: X²=(1/2)Y, la cual se parece a: X²=4pY, ecuación que representa a una Parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. También por simple inspección puedes ver que en ambos casos los coeficientes de Y (términos que la "acompañan") son: ½, y 4p. A partir de esto puedes igualarlos y obtener:

½=4p; (½)/4=p; 1/8=p; o bien: p=1/8

Por lo tanto el Foco se encuentra a una distancia de 1/8 respecto del vértice y es positivo.

De todo lo anterior deducimos lo siguiente:

La Parábola tiene su eje sobre el eje de las Y; se abre hacia arriba, puesto que p es positivo; las coordenadas del Foco son (0, 1/8); la longitud de su lado recto es:

I4pI=I4(1/8)I=I4/8I=I1/2I=0.5; la ecuación de la directriz es: y=-1/8 

Ves que fácil es, y todo lo anterior puedes determinarlo por simple inspección de la ecuación particular de una Parábola, complementándolo con algunas operaciones matemáticas sencillas. 

The End.

Solo por practicar resuelve los siguientes ejercicios por simple inspección...nada de darle valores a X y obtener valores de Y o viceversa, solamente con aplicar tu inteligencia al ver la ecuación deduce: hacia donde se abre, la distancia del vértice al foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

Y=X²
Y=5X²
X=4Y²
X=6Y²
Y=-X²
Y=-5X²
X=-4Y²
X=-6Y²

© Ing. I. Guerrero Z.

Sus partes y un problema resuelto.

La siguiente figura es una parábola con sus partes principales. Si te sirve apréndetelas de memoria. 

Foco: Es un punto que se encuentra localizado al “interior” de la curvatura de la Parábola. Físicamente es el punto hacia donde se refleja o “rebota” todo aquello que “choca” con su cara. La distancia del vértice al foco se conoce como p.

Lado Recto: Es la distancia que hay entre dos puntos simétricos de la parábola con la condición de que se mida pasando por el foco en forma paralela a la Directriz.

Directriz: Recta desplazada a la misma distancia p del vértice pero en sentido contrario. Perpendicular al eje de la parábola.

Vértice: Punto desde donde se “abre” la Parábola. René Descartes trabajó con ocho casos de Parábolas (por lo menos esos son los que conozco). Las que se abren a la derecha, a la izquierda, hacia arriba y hacia abajo e igual número de casos para cuando tienen su vértice fuera del origen.

Parábolas con vértice en el origen.

Según Descartes hay dos ecuaciones principales que rigen geométricamente a las parábolas con vértice en el origen, a saber: Y²=4pX, y X²=4pY.

Después te explico de donde las obtuvo por el momento aprende a utilizarlas.

Grafiquemos la ecuación particular de una Parábola en la forma tradicional (dando valores a X y obteniendo valores de Y).

Y=2X²

Asignando valores arbitrarios a X...

Si X=0; Y=2(0)²=0; entonces P₁(0, 0)
Si X=1; Y=2(1)²=2; entonces P₂(1, 2)
Si X=2; Y=2(2)²=8; entonces P₃(2, 8.0)
Si X=3; Y=2(3)²=18; entonces P₄(3, 18)
Si X=-1; Y=2(-1)²=2; entonces P₅(-1, 2)
Si X=-2; Y=2(-2)²=8; entonces P₆(-2, 8.0)
Si X=-3; Y=2(-3)²=18; entonces P₇(-3, 18)

Al ubicar todos los puntos obtenidos en un sistema coordenado común se forma la siguiente figura.

Bien, hasta ahí lo común, pero, ¿existe otra manera de hacer lo mismo, que sea más ágil? Pues si, para tu beneplácito existe, solo tienes que a-na-li-zar la ecuación particular Y=2X² y relacionarla con dos ecuaciones principales que inventó René Descartes (Y²=4pX, y X²=4pY).

¿A cual de las dos ecuaciones principales se parece más la ecuación que graficamos? Esto es: Y=2X² se parece más a: Y²=4pX, o a X²=4pY

Tal vez no encuentres mucho parecido con ninguna tal como está la ecuación, pero si la “reacomodas” transponiendo términos de la siguiente manera:

Y=2X², es exactamente lo mismo que si tuvieras: X²=(1/2)Y. Quizá ahora si notes mejor su relación con las ecuaciones de Descartes. ¿Entonces a cual se parece más? ¿Acaso, a X²=4pY?

Bien… espero que lo hayas determinado tú, voy a suponer que así fue.

Pero este tema no ha concluido, lo continuaremos en próxima ocasión.

© Ing. I. Guerrero Z.

El inicio…

Antes de explicar el siguiente tema, conviene que estudies el Tema 5, sobre todo la última parte del mismo.

Si ya lo revisaste, ahora te lo explicaré con mayor amplitud.

¿Qué es una Parábola? 

Por ejemplo ésta… En aquel tiempo dijo Jesús a sus discípulos: “He aquí el que sembraba salió a sembrar. Y sembrando, parte de la simiente cayó junto al camino; y vinieron las aves, y la comieron. Y parte cayó en pedregales, donde no tenía mucha tierra; y nació luego, porque no tenía profundidad de tierra: Mas en saliendo el sol, se quemó; y secóse, porque no tenía raíz. Y parte cayó en espinas; y las espinas crecieron, y la ahogaron. Y parte cayó en buena tierra, y dio fruto, cuál a ciento, cuál a sesenta, y cuál a treinta. Quien tiene oídos para oír, oiga”.

¡Alto ahí…! la anterior es una parábola de Jesucristo, y ¡demonios! aquí estamos en Geometría Analítica, por lo tanto las parábolas que veremos serán exclusivamente figuras geométricas.

Charles H. Lehmann en su texto de Geometría Analítica -en desuso por culpa de Internet- define técnicamente a una Parábola como: el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. No. No es un trabalenguas.¿Entiendes la definición anterior? ¡Bah! yo tampoco la entendí la primera vez que la leí. Recuerdo que me quedé con cara de ¿¿¡¡Que qué!!?? 

Me pregunto… ¿Para qué diablos utilizar tantos tecnicismos?, acaso no es mejor decirle a un estudiante ¿Haz visto una antena parabólica? Es igual que una parábola, solo que ésta última se traza en el papel, mientras que la otra se construye físicamente.

Una Parábola es una curva que tiene una característica muy especial que a continuación te revelaré (es el Top-Secret de las Parábolas y te lo voy a decir). Interpretémoslo físicamente para que te sea más claro.

Resulta que todas las antenas parabólicas –¡Ojo con esto!- reflejan todo tipo de radiación que reciben en su cara hacia un punto llamado FOCO. ¡Oye! No me estoy refiriendo a ningún foco de los que consumen electricidad.

¿Y que es radiación? Por ejemplo los rayos solares son una radiación compuesta por ondas de luz y de calor, también lo son las ondas electromagnéticas que emiten algunas televisoras y estaciones de radio hacia un satélite espacial, el cual a su vez las regresa a la tierra “bañando” muchas antenas parabólicas en una región de la tierra. Todas estas señales las concentran las antenas parabólicas en el punto llamado FOCO. 

Algunos “platos” con forma de parábola reciben el nombre de “cocinas solares” ya que concentran todo el calor que reciben de los rayos del Sol en el punto focal y ahí mismo tienen un soporte que permite colocar una vasija con agua y alimento para cocerse.

Estas son algunas de las aplicaciones físicas que puede tener una Parábola, lo teórico es justamente lo que vamos a ver a continuación, sin meternos tanto en tecnicismos que –al igual que tú- también me fastidian.

Solo que eso lo veremos en el siguiente capítulo de esta saga… está pendiente.

© Ing. I. Guerrero Z.

Este artículo es para profesores que impartimos Geometría Analítica. En concreto, es para quienes les gusta inventar problemas sobre la marcha en el desarrollo de un tema.

En matemáticas, después de explicar un tema, resolver uno o más problemas afines y de responder las dudas normales de mis alumnos, procedo a anotarles una serie de ejercicios en el pintarrón. Así, mientras ellos trabajan en su solución, igual tengo que resolverlos -la certeza importa a la hora de calificarlos-. Pero… resolver varios problemas en clase a diario y diferentes entre si en los grupos a los que les imparto la misma asignatura, me resulta extenuante y además con las distracciones a cada momento por preguntas normales de los estudiantes es muy fácil incurrir en errores.

Y es que -no lo he contado todavía- tengo la costumbre -buena o mala, no lo se- de "inventarme" los problemas o ejercicios sobre la marcha, tanto los que resuelvo para explicar el tema en cuestión como los que les escribo a mis alumnos para que los resuelvan ellos. Esto no sería problema si se me "ocurrieran" siempre los mismos ejercicios en los diferentes grupos, pero no, en cada salón, según las características del grupo, me van surgiendo ideas, y escribo.

Ahora bien, "inventarles" problemas a mis jóvenes alumnos no me lleva tiempo, el problema es a la hora de calificarlos. Por lo general terminan de resolverlos tres o cuatro al mismo tiempo y en lo que acabo de revisarles sus trabajos ya están otros siete u ocho esperándome. Así, en un lapso de veinte minutos tengo al grupo encima queriendo que les califique ¡a todos al mismo tiempo!. ¡Uff! y ¡¡¡Recontra ufff!!!

Una forma de resolver este problema es utilizando alumnos-monitores, los primeros que terminan y tienen bien sus resultados pueden ayudar a calificar a los demás. Sin embargo para cualquier profesor en las mismas circunstancias que yo, siempre queda la "espinita" o "el gusanillo" de revisar todos los trabajos para ver en donde se equivocan los jóvenes. Así que...

Si te pasa igual te tengo una solución… Utiliza una hoja de cálculo.

Si tienes una PC portátil o mejor aun, una Treo o alguna Palm similar que te permita manejar una hoja de cálculo, adiós problema.

Primero utilizaba mi Laptop, pero... andar de aula en aula abriéndola y cerrándola, prendiéndola y apagándola al final me resultó tedioso, además, "tanto va el cántaro al agua hasta que se rompe" (espero que esto último no sea un presagio, mucho menos una maldición). Afortunadamente encontré una Treo y la cosa cambió.

Desde luego que esta solución es para quienes como yo les gusta inventar problemas sobre la marcha... 

 Te dejo esta hoja de cálculo, formulada para que te calcule:

1. Distancia entre dos puntos.
2. Punto medio entre dos puntos.
3. Pendiente de la recta que se forma al unirlos.
4. Ángulo respecto al eje de las X.

Solo escribes las coordenadas (x1,y1), (x2,y2) de los dos puntos y la hoja hace todo lo demás.

Los derechos para utilizarla me los debes, si algún día me encuentras por ahí invítame un refresco.

Cuando tus alumnos no terminen la serie de ejercicios anotados en el pintarrón, déjaselos como tarea extra-clase, y en la siguiente sesión además de revisárselos, -como forma de evaluación continua- a cada uno que te entregue la tarea ponle un ejercicio -de los mismos pero con los datos cambiados- para que te lo resuelvan en el acto, hacerlo así comprobará que efectivamente cada quien hizo su tarea, ¡Ja! verás cuantos copian... Igual, mete los datos en tu pequeña Treo o en tu PC portátil y San se acabó...

Que si los dos puntos están en el mismo lugar, que si todas las coordenadas son cero, que si la pendiente es cero, que si los dos puntos al unirlos forman una recta vertical con pendiente infinita, etc, etc, etc, ahí mismo en la hoja encontrarás todos estos detalles.

Convendría quizá que tomaras la idea e hicieras tus propias hojas de cálculo aplicables en álgebra, geometría de Euclides, trigonometría, Geometría Analítica (tal como lo hace el Profesor Jorge La Chira), e igual en cálculo infinitesimal.

Revísa la hoja de cálculo y si encuentras que algo "no cuadra" avísame por favor. Conste que intenté abarcar todos los casos posibles.

Finalmente, si a ti Colega te gusta llevar los ejercicios impresos, resueltos previamente, olvídate de todo lo anterior...

© Ing. I. Guerrero Z.

Si dice conica l’insieme dei punti del piano le cui coordinate, in un riferimento Oxy, verificano una equazione del tipo:

7.1.1)            

con a, b, c, d, e, f numeri reali non tutti nulli. Il numero reale:

7.1.2)            

si dice determinante della conica d’equazione (7.1.1).

RICORDIAMO CHE

a) Se è D = 0 la conica (7.1.1) si dice riducibile o degenere, e si sdoppia in una coppia di rette eventualmente coincidenti o parallele, che si dicono componenti della conica.

b) Se è  D ¹ 0 la conica (7.1.1) si dice irriducibile o non degenere. Risulta:

     i) la (7.1.1) rappresenta un’ellisse se: ;

    ii) la (7.1.1) rappresenta un’iperbole se: ;

   iii) la (7.1.1) rappresenta una parabola se: .

Notiamo che nell’ipotesi d > 0 la (7.1.1) è:

• un’ellisse reale se aD < 0
• immaginaria se  aD > 0

7.2. Riduzione a forma canonica di una conica non degenere.

L’equazione (7.1.1) di una conica non degenere, scegliendo in modo opportuno il sistema di riferimento Oxy, può sempre scriversi in uno dei seguenti modi:

7.2.1)             Ax² + By² + C = 0     ( ellisse o iperbole )

7.2.2)             Dy² + 2Cx² = 0          ( parabola)

5.1.- Equazione dell’ellisse.

Si dice ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F₁ e F₂ detti fuochi.

In un riferimento cartesiano Oxy l’equazione canonica dell’ellisse è:

5.1.1)

o equivalentemente:

5.1.2)

con a> b numeri reali non nulli.

Nella figura 1 abbiamo accennato il grafico di un’iperbole .

Se a < b la (5.1.1) rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse y.

Se è a = b rappresenta una circonferenza d’equazione x² + y² = a² , di centro O e raggio a.

RICORDIAMO CHE

a) I punti si dicono vertici dell’ellisse d’equazione (5.1.1);

b) I punti F₁ (- c , 0) e F₂ (c , 0) si dicono fuochi dell’ellisse d’equazione (5.1.1), e la distanza semidistanza focale.
I punti F₁ (0, c) e F₂ (0, -c) sono i fuochi nel caso a < b.

c) La relazione:

5.1.3) a² - c² = b² , ( risp. (5.1.4) c < a )

si dice uguaglianza ( risp. disuguaglianza ) fondamentale dell’ellisse (5.1.1).
Notiamo che se l'ellisse ha i fuochi sull'asse y allora l'uguaglianza fondamentale é: b² - c² = a² (con c < b).

d) Il rapporto:

5.1.5) se a > b

5.1.5’) se a < b

si dice eccentricità dell’ellisse (5.1.1). Risulta: 0 £ e < 1 1

e) I segmenti V₁V₃ , V₂V₄ si dicono rispettivamente asse maggiore e asse minore della (5.1.1), risulta:

;

mentre i segmenti si dicono rispettivamente semiasse maggiore e semiasse minore della (5.1.1), risulta:

f) L’ellisse è simmetrica rispetto agli assi x, y e all’origine O del riferimento: pertanto se il punto P(x,y) appartiene all’ellisse anche i punti:

P₁ ( -x , y) simmetrico di P rispetto all’asse y,

P₂ ( x , y ) simmetrico di P rispetto all’asse x,

P₃ ( -x , -y ) simmetrico di P rispetto ad O,

appartengono all’ellisse.

Il punto O si dice centro di simmetria o semplicemente centro dell’ellisse.

g) Si dice diametro d di un’ellisse la retta passante per i punti medi delle sue corde parallele.

Ogni diametro dell’ellisse (5.1.1) passa per il centro O, ed ha equazione:

5.1.6)

ove m è il coefficiente angolare del fascio ( improprio) di corde parallele d’equazione y = mx + k, ( k parametro reale).

Due diametri d₁ e d₂ si dicono coniugati se i rispettivi coefficienti angolari m₁ e m₂ sono tali che:

5.1.7)

Due diametri coniugati che siano tra loro perpendicolari si dicono assi di simmetria; l’ellisse possiede soltanto due assi di simmetria.

h) Si dicono direttrici dell’ellisse (5.1.1) le rette di equazioni:

5.1.8)

con .

1 Per c = 0 si ha e l’ellisse si riduce ad una circonferenza

3.1.- Equazione della circonferenza.

Si dice circonferenza il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro.

L’equazione di una circonferenza, (fig.1), in un riferimento cartesiano Oxy, è:

RICORDIAMO CHE

• Le coordinate del centro sono calcolabili con le formule:

3.1.2)

La (3.1.2) esprime le coordinate del centro C(x_C ; y_C) in funzione dei coefficienti a e b.

• Il raggio R della circonferenza si può calcolare con la formula:

3.1.3) ( )

La (3.1.3) esprime il raggio della circonferenza in funzione di a, b e c.

• L'equazione della circonferenza di centro C(x_C ; y_C) e raggio R è:

3.1.4)

La (3.1.4) esprime l’equazione di una circonferenza in funzione del centro C e del raggio R.

• L'equazione della circonferenza il centro sull’asse x è:

3.1.5)

• L’equazione della circonferenza con il centro sull’asse y .

3.1.6)

• L’equazione di una circonferenza con il centro nell’origine O degli assi, e raggio , è:

3.1.7)

a)Distanza di un punto da una retta.

La distanza d del punto P(x₀;y₀) da  una  retta  r  ( fig.1)  di  equazione  ax + by + c = 0  è data dalla formula:   

2.5.2)         .

b) Angolo tra due rette.  

L’angolo acuto (fig.2) formato dalle rette r ) y = mx + n  e  r’ ) y = m’x + n’  è dato dalla formula:                                                                    

c) Intersezione tra due rette.

Per calcolare i punti d’intersezione  tra due rette d’equazione:

               r)   ax + by + c = 0        ,      r’)   a’x + b’y + c’ = 0

occorre risolvere il seguente sistema:

2.5.4)            

RICORDIAMO CHE

Un sistema di riferimento cartesiano di una retta r è costituito da un punto O di r, un verso v di r e da un segmento, non nullo, u detto unità di misura del riferimento (fig.1).

Il punto O si dice origine del riferimento cartesiano, il verso di percorrenza sinistra-destra della retta ( indicato dalla freccia) si assume come verso positivo, mentre quello opposto ( destra-sinistra) come negativo.

Si dice ascissa x di un punto P ( fig.2) di una retta , sulla quale sia fissato un riferimento cartesiano, la lunghezza del segmento di estremi O e P misurata rispetto ad u, presa con il segno + ( risp. -) se il punto P segue ( risp. precede) O nel verso positivo.

Per indicare che il numero reale x è l’ascissa del punto P si scrive P(x).

L’ ascissa del punto O è zero, tutti i punti a sinistra di O hanno ascissa negativa, mentre quelli a destra positiva.

Il punto U di ascissa x = 1 si dice punto unitario del riferimento cartesiano di una retta.

Infine, ricordiamo che mediante l’introduzione di un riferimento cartesiano su di una retta si istituisce una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e l’insieme dei numeri reali.

Riferimento cartesiano di un piano. Coordinate polari.

a) Un sistema di riferimento cartesiano monometrico[1] ortogonale del piano, denotato con Oxy, è costituito da una coppia di assi x ed y perpendicolari tra loro nel punto O ( detto origine del riferimento ), e da un’unità di misura u.

Gli assi x ed y si dicono rispettivamente asse delle ascisse ( o asse x ) e asse delle ordinate ( o asse y ).

Si dice ascissa x ( risp. ordinata y) di un punto P del piano, sul quale sia fissato un riferimento Oxy, la lunghezza del segmento (fig.1) aventi per estremi l’origine O e la proiezione del punto P sull’asse x ( risp. y).

Per indicare che il punto P ha coordinate cartesiane x ed y si scrive:

P(x ; y) oppure P(x,y) oppure P º (x ; y).

Il riferimento Oxy divide il piano in quattro quadranti: i punti del 1° quadrante hanno coordinate positive, quelli del 3° negative, invece i punti del 2° ( risp. 4° ) quadrante hanno ascissa ( risp. ordinata) negativa e ordinata (risp. ascissa ) positiva. Le coordinate del punto O sono (0;0), tutti i punti dell’asse x ( risp.y) hanno ordinata ( risp. ascissa) nulla.

Ricordiamo, infine, che mediante l’introduzione di un riferimento Oxy del piano si istituisce una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie di numeri reali.

En Geometría Analítica un triángulo es la porción de un plano limitado por rectas.

El área de un triángulo puede determinarse por medio de la fórmula A=b*h/2, esto es, con la matemática tradicional, pero también puedes hacerlo por medio del cálculo de las distancias entre los puntos de los vértices y luego aplicando la fórmula mencionada, o simplemente con las coordenadas de los vértices.

Ejemplo.

Ubica los puntos P(2, 2); Q(8, 2); R(5,6) en un sistema coordenado cartesiano, únelos por medio de rectas y calcula al área del triángulo que se forma.

Solución.

Determinemos la longitud de sus tres lados, calculando la distancia entre dos puntos, por lo tanto:

1. Distancia entre los puntos P(0, 0); Q(8, 0), queda:

D=√((8-0)²+(0-0)²) =8; que es la base del triángulo.

2. Distancia entre los puntos P(0, 0); R(4,5). Sustituyendo coordenadas queda:

D=√((4-0)²+(5-0)²) = 6.43

Distancia entre los puntos Q(8, 0); R(4,5). Sustituyendo coordenadas queda:

D=√((4-8)²+(5-0)²)= 6.43

Al a-na-li-zar los tres resultados puedes observar que se trata de un triángulo isósceles.

De la fórmula: A=b*h/2 

A es el área, b es la base y h es la altura.

Para calcular la altura (h), simplemente determina las coordenadas del punto medio de la base del triángulo y luego calcula la distancia desde el punto medio hasta el vértice superior. Los puntos que conforman el segmento del cual ha de determinarse el Punto Medio son P(0, 0); Q(8, 0).

Sustituyendo datos queda:...X=(0+8)/2 =4, e Y=(0+0)/2 =0, entonces P.M. (4, 0)

Calculando la distancia entre el punto medio Pm(4, 0) y el punto R(4,5), tendremos que:

D=√((4-4)²+(5-0)²) = 5

Por lo que la distancia es de 5 unidades.

Sustituyendo los resultados obtenidos en la fórmula del área tenemos que:

A = (8)(5)/2 = 40/2 = 20 unidades cuadradas..

Otra forma de determinar el área del triángulo es por medio de las coordenadas de sus vértices es aplicando la fórmula siguiente, -seguramente inventada por Don René-.

Sustituyendo las coordenadas correspondientes.

A=(1/2)((0)(0)+(8)(5)+(4)(0)-(0)(5)-(4)(0)-(8)(0))

A=(1/2)(0+40+0-0-0-0)

A=(1/2)(40) = 40/2 = 20 Unidades cuadradas.

Exactamente igual que por el método de distancias. ¿Cuál método te gusta más?

© Ing. I. Guerrero Z.