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Séries de Fourier

Américo Tavares — Mon, 21 Jul 2008 22:43:04 +0000

Para facilidade de consulta, decidi reunir aqui as entradas já publicadas sobre Séries de Fourier:

Séries de Fourier 1 - Sistemas de Funções Ortogonais

Séries de Fourier 2 - Relação de Parseval

Séries de Fourier 3 - Série Trigonométrica de Fourier

Séries de Fourier 4 - Problemas

Séries de Fourier 5 - Problemas II

Séries de Fourier 6 - Problemas III

Começo por considerar sistemas de funções ortogonais para desenvolver a questão da representação de uma função em série do tipo

$latex f(x)=\displaystyle\sum_{n} c_{n}\phi_{n}(x)$

em que $latex \phi_{n}(x)$ são precisamente funções ortogonais em $latex \lbrack a ,b\rbrack $.

Chamam-se funções ortogonais às funções [complexas de variável real] que satisfazem as seguintes condições:

$latex \displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx=0\qquad \text{para }n\neq m$

$latex \displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx>0\qquad \text{para }n=m$

Revestem-se de grande interesse nas aplicações as funções do tipo $latex \cos nx$ e $latex \sin nx$.

Chama-se norma de um sistema de funções ortogonais a

$latex \left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =\sqrt{\left( \phi_{n}\cdot \overline{\phi }_{n}\right) }=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{n}\left( x\right) \;dx}$.

Um sistema ortogonal diz-se ortonormado se a sua norma for igual à unidade: $latex \left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =1$.

Exemplo 1: $latex \phi_{n}\left( x\right) =e^{inx}$ definida em $latex \lbrack -\pi ,\pi\rbrack $.

$latex \displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx$

$latex =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{inx}\, e^{-imx}\;dx=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\left( n-m\right)x} \;dx =\dfrac{1}{i\left( n-m\right)}\times$ $latex \left[ e^{i\left( n-m\right) x}\right] _{-\pi }^{\pi }$

$latex =0\qquad \text{para }n\neq m$

$latex =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\;dx=2\pi\qquad \text{para }n=m$

$latex \left\vert \left\vert e^{inx}\right\vert \right\vert =\sqrt{2\pi}$. $latex \blacktriangleleft$

Consideremos uma função de variável real $latex f(x)$

$latex f(x)=\displaystyle\sum_{n}c_{n}\phi_{n}(x)\qquad a\le x\le b$

e as seguintes hipóteses:

a série converge;
converge para $latex f(x)$

Multiplicando a série por $latex \overline{\phi }_{m}(x)$ vem

$latex f(x)\overline{\phi }_{m}(x)=\displaystyle\sum_{m} c_{m}\phi_{n}(x)\overline{\phi }_{m}(x)$

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi }_{m}(x)\; dx=\displaystyle\sum_{m} c_{n}\int_{a}^{b}\phi_{m}(x)\overline{\phi }_{n}(x)\; dx$

porque pode trocar-se a ordem de $latex \displaystyle\int$ e $latex \displaystyle\sum$, se admitirmos a convergência uniforme da série no intervalo $latex \lbrack a ,b\rbrack $. Assim,

$latex \displaystyle\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)=c_{n}\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}$,

ou seja,

$latex c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}$

Aos coeficientes $latex c_n$ chamam-se os coeficientes de Fourier. À série chama-se série de Fourier relativa ao conjunto de funções ortogonais $latex \phi_n(x)$.

NOTA: esta dedução não é rigorosa!

Consideremos uma função $latex f(x)$ de quadrado integrável no intervalo $latex \left[ a,b \right]$. Vamos aproximar $latex f(x)$ por uma expressão da forma

$latex \displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_n\phi_n(x)$

Seja $latex \epsilon$ o erro quadrático médio. Vamos impor que $latex \epsilon^2$ seja mínimo.

$latex \epsilon^2=$ $latex \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_n\phi_n(x)\right\vert^2\; dx$

o que é o mesmo que

$latex (b-a)\epsilon^2=$ $latex \displaystyle\int_{a}^{b}$ $latex |f(x)|^2$ $latex \; dx$ $latex -\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $latex \dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}$

$latex +\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $latex \left\vert c_n\times||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\times (f\cdot\overline{\phi}_n)\right\vert ^2$.

DEDUÇÃO:

Dados dois complexos $latex z$ e $latex w$, verifica-se

$latex |z-w|^2=(z-w)\overline{(z-w)}=|z|^2+|w|^2-z\overline{w}-\overline{z}w$.

Assim, tem-se

$latex \left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}=$ $latex \left\vert f(x)\right\vert^{2}$ $latex +\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\vert^{2}$ $latex -f(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\overline{c}_{n}\overline{\phi}_{n}(x)$ $latex -\overline{f}(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)$,

$latex \displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)=\left (\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right )\overline{\left (\displaystyle\sum_{m=1}^{N}c_{m}\phi_{m}\right )}=\displaystyle\sum_{n,m=1}^{N}c_{n}\overline{c}_{m}\phi_{n}(x)\overline{\phi}_{n}(x)$

$latex \left\vert c_n||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi}_n(x)\; dx\right\vert ^2$ $latex =|c_n|^2||\phi_n||^2$ $latex +\left\vert\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int f(x)\overline{\phi}_{n}(x)\; dx\right\vert ^2$ $latex -c_{n}||\phi_n||\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f(x)}\phi_{n}(x)\; dx$ $latex -\overline{c}_{n}||\phi_n||\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi}_{n}\; dx$

donde resulta

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}\; dx=$ $latex \displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert^{2}\; dx$ $latex +\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\vert^{2}\; dx$ $latex -\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\overline{c}_{n}\overline{\phi}_{n}(x)\; dx$ $latex -\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f}(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\; dx$

$latex =\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert ^2\; dx$ $latex -\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n)|^2}{||\phi_n||^2}$ $latex +\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left\vert c_{n}||\phi_n||-\dfrac{(f\cdot\overline{\phi}_n}{||\phi_n||}\right\vert ^2$,

ou seja, a fórmula acima que se repete:

$latex (b-a)\epsilon^2=$ $latex \displaystyle\int_{a}^{b}$ $latex |f(x)|^2$ $latex \; dx$ $latex -\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $latex \dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}$

$latex +\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $latex \left\vert c_n\times||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\times (f\cdot\overline{\phi}_n)\right\vert ^2$.

Os termos

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}$ $latex |f(x)|^2$ $latex \; dx$ $latex -\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $latex \dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}$

são independentes de $latex c_n$. Para minimizar $latex \epsilon$ deve ter-se

$latex c_{n}\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert}$

que é equivalente a

$latex c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}$

ou a

$latex |c_n|^2||\phi_n||^2=\left\vert\dfrac{(f\cdot\overline{\phi}_n)}{||\phi||^2}\right\vert ^{2}||\phi_n||^2$ $latex =\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n)|^2}{||\phi_n||^2}$

Vimos então que os coeficientes da série de Fourier $latex c_n$ minimizam o erro quadrado médio.

$latex (b-a)\epsilon_{\text{min}}^2=$ $latex \displaystyle\int_{a}^{b}$ $latex |f(x)|^2$ $latex \; dx$ $latex -\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $latex |c_n|^2||\phi_n||^2\ge 0$

Fazendo tender $latex N$ para infinito, no limite tem-se a desigualdade de Bessel

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}$ $latex |f(x)|^2$ $latex \; dx$ $latex \ge\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}$ $latex |c_n|^2||\phi_n||^2$.

Se o sistema for ortonormado, $latex ||\phi_n||=1$, e

$latex \displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $latex |c_n|^2\le\displaystyle\int_{a}^{b}$ $latex |f(x)|^2\; dx$ $latex =\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)f\overline{f}(x)\; dx=||f||^2$

Para as funções de quadrado integrável, a série

$latex \displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $latex |c_n|^2||\phi_n||^2$

converge. A seguinte igualdade verifica-se, se e só se, o erro quadrático médio for nulo; então, será

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}$ $latex |f(x)|^2$ $latex \; dx$ $latex =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}$ $latex |c_n|^2||\phi_n||^2$

e o sistema de funções $latex \phi_{n}(x)$ é completo. Então

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}\; dx=0$.

Nestas condiçoes, diz-se que a série de Fourier converge em média para $latex f(x)$, mas a convergência não é necessariamente uniforme. Por definição uma série converge uniformemente para uma função quando simbolicamente se verificar

$latex \underset{\varepsilon >0}{\forall }\;$ $latex \underset{N_{1}}{\exists }\;$ $latex \underset{x\in \lbrack a,b]}{\forall }\;$ $latex N>N_{1}\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon $

Para cada $latex \varepsilon >0$, existe um inteiro $latex N_{1}$ tal que, $latex N>N_{1}$ implica $latex \left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon $, para todo o $latex x$ no intervalo $latex \lbrack a ,b\rbrack $. O facto essencial é que $latex N_{1}$ é independente de $latex x.$ Normalmente dependeria de $latex \varepsilon .$

Os sistemas completos, em que $latex \sum c_{n}\phi_{n}(x)$ converge em média para $latex f(x)$, esta convergência não implica convergência em todos os pontos.

Se considerarmos duas funções, $latex f_{1}(x)$ e $latex f_{2}(x)$, que diferem apenas num número finito de pontos e calcularmos os coeficientes

$latex c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}$

obtemos o mesmo valor, visto que

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi_{n}(x)}\; dx=(f\cdot\overline{\phi_{n}(x)})$

tem o mesmo valor para as duas funçoes, o que leva a que ambas sejam representadas pela mesma série de Fourier. A série de Fourier pode não convergir para o valor da função num conjunto finito de pontos.

Para os sistemas completos é possível deduzir a seguinte relação:

Dadas duas funções $latex f(x)$ e $latex g(x)$ representadas pelas séries

$latex f(x)=\displaystyle\sum c_{n}\phi_{n}(x)$

$latex g(x)=\displaystyle\sum d_{n}\phi_{n}(x)$

é possível demonstrar que

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{g}_{n}(x)\; dx=\displaystyle\sum c_{n}\overline{d}_{n}||\phi_n||^2$
$latex \displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum |c_{n}|^2||\phi_n||^2$, fazendo em 1. $latex g(x)=f(x)$.

À relação 1. costuma chamar-se relação de Parseval na forma geral. à seguinte, chamar-se-á relação de Parseval na forma particular. Se soubermos de antemão que um determinado sistema de funções é completo, podemos determinar a soma de certas séries de interesse prático, à custa da relação de Parseval: exemplo, a série

$latex \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}=\dfrac{\pi^2}{8}$.

Exemplo 2: O sistema de funções $latex \sin nx$ $latex (n=1,2,\dots)$ é ortogonal no intervalo $latex \lbrack 0,\pi\rbrack $. Determine os coeficientes de Fourier da série

$latex f(x)=1=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\sin nx$ $latex \qquad\qquad (0\le x\le\pi)$

e verifique que aquele sistema é completo em relação a esta função.

$latex \bigskip$

Começo por calcular as quantidades:

$latex ||\phi_n||^2=||\sin nx||^2=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2}nx\; dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}(1-\cos 2nx)\; dx$ $latex =\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}(\sin 2nx-\sin 0)=\dfrac{\pi}{2}$

$latex \bigskip$

$latex (f\cdot\overline{\phi}_n)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin nx\; dx=-\dfrac{1}{n}(\cos n\pi -\cos 0)=\dfrac{2}{n}$,

para $latex n$ ímpar e

$latex (f\cdot\overline{\phi}_n)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin nx\; dx=-\dfrac{1}{n}(\cos n\pi -\cos 0)=0$,

para $latex n$ par

$latex \bigskip$

Deste modo

$latex c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}=0$, se $latex n$ é par e

$latex c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{4}{n\pi}$, se $latex n$ é ímpar.

Podemos agora verificar se a igualdade

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|c_{n}|^2||\phi_n||^2$

é satisfeita: Temos

$latex \displaystyle\int_{0}^{\pi}|f(x)|^2\; dx=\pi$

$latex \displaystyle\sum_{1,3,\dots}^{\infty}|c_{n}|^2||\phi_n||^2=\dfrac{16}{\pi^2}\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\sum_{1,3,\dots}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{8}{\pi}\dfrac{\pi^2}{8}=\pi=\displaystyle\int_{0}^{\pi}|f(x)|^2\; dx$

o que significa que o sistema $latex \sin nx$ é completo em relação à função $latex f(x)=1$, $latex x\in\lbrack 0,\pi\rbrack $. $latex \blacktriangleleft$

$latex \bigskip$

NOTA: Utilizei a soma da série $latex \displaystyle\sum_{1,3,\dots}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{8}$ (veja também abaixo).

Desenvolve-se em série trigonométrica de Fourier, que será vista posteriormente, a função $latex f(x)=\dfrac{\pi^2}{4}$, $latex x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack $, chegando-se a

$latex \dfrac{\pi^2}{12}=\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{4^2}+\cdots$,

$latex \dfrac{\pi^2}{6}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots$.

Somando-as, obtém-se

$latex \dfrac{\pi^2}{8}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\cdots$.

$latex \bigskip$

Outro método mais à frente é uma consequência do Problema 2.

$latex \bigskip$

Série Trigonométrica de Fourier

A série trigonométrica de Fourier é o caso particular das séries de Fourier que utiliza o sistema de funções ortogonais $latex \cos nx$ e $latex \sin nx$:

$latex 1,\cos x,\cos 2x,\ldots ,\sin x,\sin 2x,\cdots$

Sendo $latex \delta _{nm}$ o delta de Kronecker

$latex \delta _{nm}=\left\{\begin{array}{c}1\qquad n=m\\\text{0}\qquad n\neq m\end{array}\right.$

os integrais envolvidos podem exprimir-se facilmente nos seguintes termos:

$latex \displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\;dx=$ $latex \left\{\begin{array}{c}\pi\delta _{nm}\qquad n,m\neq 0\\2\pi\qquad n=m=0\end{array}\right.$

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi }\sin nx\sin mx\;dx=\pi\delta _{nm}$

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi }\sin nx\cos mx\;dx=0\qquad\forall n,m$

Consideremos a seguinte série de Fourier

$latex f\left( x\right) \sim\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)$

Os coeficientes $latex a_{n}$ e $latex b_{n}$ são os seguintes integrais

$latex a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\ldots $

$latex b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx\qquad n=1,2,3,\ldots $

Estas relações são válidas para qualquer outro intervalo de largura $latex 2\pi $. Admitamos que $latex f\left( x\right) $ é uma função de quadrado integrável e que $latex \phi _{n}$ é um sistema ortogonal; vimos que

$latex c_{n}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right) }{||\phi _{n}||^{2}}.$

Neste caso as três normas são dadas por

$latex ||1||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }1^{2}\;dx=2\pi $

$latex ||\sin nx||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}nx\;dx=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2nx\right) \;dx=\pi $

$latex ||\cos nx||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}nx\;dx=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2nx\right) \;dx=\pi $

e os coeficientes por

$latex c_{1}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{1}\right) }{||\phi _{1}||^{2}}=\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \;dx=\dfrac{a_{o}}{2} $

$latex c_{2n}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{2n}\right) }{||\phi _{2n}||^{2}}$

$latex =\dfrac{1}{||\cos nx||^{2}}\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx=a_{n} $

$latex c_{2n+1}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{2n+1}\right) }{||\phi_{2n+1}||^{2}}$

$latex =\dfrac{1}{||\sin nx||^{2}}\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx=\frac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx=b_{n}. $

A série

$latex \displaystyle\sum_{n}|c_{n}|^{2}||\phi _{n}||^{2} $

é da forma

$latex \displaystyle\sum_{n}\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) $

que, sendo convergente, implica que $latex a_{n}\rightarrow 0$ e $latex b_{n}\rightarrow 0.$

É possível demonstrar que, para que $latex a_{n},b_{n}\rightarrow 0$ $latex \left( n\rightarrow \infty \right) $ é suficiente que $latex f\left( x\right) $ seja absolutamente integrável.

$latex \bigskip $

Teorema: se $latex f\left( x\right) $ satisfizer as seguintes condições

for injectiva;
for limitada em $latex x\in\lbrack a,b\rbrack $;
tiver um número finito de máximos e mínimos;
e tiver um número finito de descontinuidades de primeira espécie (quando existem limites finitos da função à esquerda e à direita do ponto da descontinuidade).

Então a série trigonométrica de Fourier converge para a seguinte quantidade

$latex \dfrac{1}{2}\left[ f\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \right] =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) $.

As condições anteriores, que se designam por condições de Dirichlet, são condições suficientes de convergência.

Nos intervalos em que a função é contínua, a convergência da série é uniforme. Se $latex f\left( x\right) $ for contínua em todo o intervalo, a série trigonométrica de Fourier converge uniformemente em todo o intervalo.

Como consequência do teorema anterior, resulta que o conjunto das funções $latex \sin nx$, $latex \cos nx$ é um conjunto completo para as funções que satisfazem as condições de Dirichlet, isto é

$latex \displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\left\vert f\left( x\right) \right\vert ^{2}\;dx=\dfrac{a_{0}^{2}}{4}2\pi +\displaystyle\pi \sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) $

$latex \dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\left\vert f\left( x\right) \right\vert^{2}\;dx=\dfrac{a_{0}^{2}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) $

que é a relação de Parseval neste caso.

Dada uma função $latex f\left( x\right) $ definida no intervalo $latex x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack $, se $latex f\left( x\right) $ satisfizer as condições de Dirichlet, a série trigonométrica de Fourier converge para $latex \dfrac{1}{2}\lbrack\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \rbrack $. Mas, o que é que acontece fora do intervalo $latex \lbrack -\pi,\pi\rbrack $? A série trigonométrica de Fourier converge para uma função periódica que é a repetição de $latex f\left( x\right) $. Se $latex f\left( x\right) $ for periódica de período $latex 2\pi $, a série trigonométrica de Fourier representa essa função em todo o eixo real. O termo $latex a_{1}\cos x+b_{1}\sin x $ designamo-lo por fundamental, o termo $latex a_{n}\cos x+b_{n}\sin nx $, harmónica de ordem $latex n $.

$latex \bigskip $

Problema 1 - Mostre que o sistema de funções $latex \sin nx$, em que $latex n=1,2,3,\ldots $ é ortogonal no intervalo $latex \lbrack -\pi,\pi\rbrack $ e determine a respectiva norma.

$latex \bigskip $

Resolução

Num sistema ortogonal

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\overline{\phi }_{m}\;dx\left\{\begin{array}{c}=0\qquad n\neq m\\>0\qquad n=m\end{array}\right. $

A sua norma é dada por

$latex \int_{a}^{b}|\phi _{n}|^{2}\;dx=||\phi _{n}||^{2}>0$

Como fórmulas a aplicar, temos as seguintes trigonométricas

$latex \cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$

$latex \sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm\sin b\cos a$

$latex \cos 2a=\cos^{2}a-\sin ^{2}a=1-2\sin^{2}a=2\cos ^{2}a-1\qquad (a=b) $

Donde

$latex \sin a\sin b=\dfrac{\cos \left( a-b\right) -\cos \left( a+b\right) }{2}$

$latex \sin ^{2}a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}\qquad (a=b)$

Ora, como para $latex n\neq m$

$latex \displaystyle\int_{0}^{\pi }\sin nx\text{ }\sin mx\;dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi }\cos\left( n-m\right) x-\cos\left( n+m\right) x\;dx$

$latex =\dfrac{1}{2}\left\lbrack\dfrac{1}{n-m}\sin \left( n-m\right) x-\dfrac{1}{n+m}\sin\left( n+m\right) x\right\rbrack_{0}^{\pi }=0$

e para $latex n=m$

$latex ||\sin nx||^{2}=\int_{0}^{\pi }\sin ^{2}nx\text{ }dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi }1-\cos 2a\text{ }dx=\dfrac{\pi }{2}$

o sistema é efectivamente ortogonal e a sua norma

$latex ||\sin nx||=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}.$

$latex \bigskip $

Problema 2 - Considere o sistema de funções

$latex \cos n\pi\dfrac{x}{l}$ ($latex n=0,1,2,\ldots $).

1. Mostre que o sistema é ortogonal no intervalo $latex \lbrack 0,l\rbrack.$

2. Deduza a expressão dos coeficientes da série de Fourier associados à função $latex f\left( x\right) $ definida naquele intervalo.

3. Calcule o valor dos coeficientes de Fourier para $latex f(x)=\dfrac{x}{t}$

$latex \bigskip $

Soluções:

$latex \displaystyle\int_{0}^{l}\cos n\pi\dfrac{x}{l}\cos m\pi\dfrac{x}{l}\text{ }dx=\left\{\begin{array}{c}\dfrac{l}{2}\qquad n=m\neq 0\\l\qquad n=m=0\\\text{0}\qquad\qquad n\neq m\end{array}\right.$

$latex c_{n}=\dfrac{2}{l}\displaystyle\int_{0}^{l}f\left( x\right) \cos n\pi\dfrac{x}{l}\text{}dx\\c_{0}=\dfrac{1}{l}\int_{0}^{l}f\left( x\right) \text{ }dx$

$latex c_{n}=\left\{\begin{array}{c}0\qquad \qquad n\text{ par}\\-\dfrac{4}{n^{2}\pi^{2}}\qquad n\text { \'{\i}mpar}\end{array}\right.$

$latex c_{0}=\frac{1}{2}$

Nota adicional: nestas condições

$latex f\left( x\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\left( \cos\dfrac{\pi x}{l}+\dfrac{1}{3^{2}}\cos\dfrac{3\pi x}{l}+\dfrac{1}{5^{2}}\cos\dfrac{5\pi x}{l}+\cdots\right) $

$latex \dfrac{x}{t}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\left( \cos\dfrac{\pi x}{l}+\dfrac{1}{3^{2}}\cos\dfrac{3\pi x}{l}+\dfrac{1}{5^{2}}\cos\dfrac{5\pi x}{l}+\cdots\right) $

Para $latex x=0,$ vem

$latex 0=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2n+1\right) ^{2}}$

donde

$latex \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2n+1\right) ^{2}}=\dfrac{\pi ^{2}}{8}.$

Problema 3 - Verifique que o sistema de funções $latex \cos nx$ $latex (n=0,1,2,3,\dots)$ não é completo no intervalo $latex \lbrack a,b\rbrack$.

Resolução

Não é possível definir funções ímpares à custa da soma dos cosenos.

Função par: $latex f(x)=f(-x)$

Função ímpar: $latex f(x)=-f(-x)$

Para que o sistema de funções $latex \phi_{n}(x) $ seja completo é necessário que

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\;dx$ $latex =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2.$

Considerando uma função ímpar $latex I(x)$ não identicamente nula em $latex \lbrack a,b\rbrack$, verifica-se que os coeficientes da série de Fourier associada a $latex I(x)$ são todos nulos:

$latex c_n=\dfrac{(f\cdot\overline{\phi_n})}{||\phi_n||^2}=\dfrac{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}I(x)\cos nx\; dx}{||\phi_n||^2}=0$

$latex I(x)\cos nx$ é o produto de uma função ímpar com uma função par e, portanto, este produto é uma função par. Dado o intervalo de integração, o integral do numerador é nulo. Nestas condições o integral $latex \displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx $, que é maior do que zero, é concerteza maior do que a série $latex \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2 $, que é igual a zero. $latex \blacktriangleleft $

Problema 4 - Mostre que se um sistema de funções $latex \phi_n(x) $ é ortogonal e completo, uma função contínua $latex f(x) $ que seja ortogonal a todas as funções do sistema é identicamente nula.

Resolução

Como $latex f $ é ortogonal,

$latex c_n=\dfrac{(f\cdot\overline{\phi_n})}{||\phi_n||^2}=0$.

Sendo o sistema completo

$latex \displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum |c_{n}|^2||\phi_n||^2.$

Como $latex f$ é contínua, por hipótese, para que o seu quadrado possua um integral igual a zero, $latex f$ tem de ser identicamente nula. $latex \blacktriangleleft $

Problema 5

1. Verifique que o sistema de funções $latex \sin px$ $latex (p=1,2,3,\dots)$ e $latex \cos px$ $latex (p=0,1,2,\dots)$ é ortogonal no intervalo $latex \lbrack\-\pi,\pi\rbrack$ e determine os coeficientes $latex a_p$ e $latex b_p$ da série trigonométrica

$latex \dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{p=1}^{\infty}(a_p\cos px+b_p\sin px)$

associada a uma função $latex f(x)$ de quadrado integrável.

2. Sabendo que

$latex \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}$

verifique que aquele sistema é completo em relação à função

$latex f(x)=\left\{\begin{array}{c}-1\qquad -\pi\le x<0\\+1\qquad 0<x\le-\pi\end{array}\right.$

Resolução

1. Para o sistema de funções $latex 1,\sin px$ $latex (p=1,2,3,\dots)$ e $latex 1,\cos px$ $latex (p=0,1,\dots)$ tem-se:

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos px\; dx=0$

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin px\; dx=0$

Se $latex p\ne q$

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\sin qx\; dx$ $latex =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p-q)x-\cos(p+q)x\; dx$ $latex =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi }$ $latex =0-0=0$

$latex \bigskip$

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos qx\; dx$ $latex =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p-q)x+\cos(p+q)x\; dx$ $latex =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi }$ $latex =0+0=0$

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\cos qx\; dx$ $latex =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(p-q)x+\sin(p+q)x\; dx$ $latex =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi }$ $latex =0+0=0$

Se $latex p\neq q$

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\cos px\; dx$ $latex =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin (p-p)x+\sin (p+p)x\; dx$ $latex =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}0+\sin (p+p)x\; dx$ $latex =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos 2px}{2p}\right]_{-\pi}^{\pi }$ $latex =0+0=0$.

Por outro lado, os quadrados das três normas são

$latex ||\sin px||^2$ $latex =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}px\; dx$ $latex =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2}(1-\cos 2px)\; dx$ $latex =\dfrac{1}{2}\left[ x\right]_{\pi}^{\pi }+0$ $latex =\pi$

$latex ||\cos px||^2$ $latex =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}px\; dx$ $latex =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2}(1+\cos 2px)\; dx$ $latex =\dfrac{1}{2}\left[ x\right]_{\pi}^{\pi }+0$ $latex =\pi$

$latex ||1||^2$ $latex =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx$ $latex =2\pi$

e as próprias normas,

$latex ||\sin px||$ $latex =\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}px\; dx}=\sqrt{\pi}$

$latex ||\cos px||$ $latex =\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}px\; dx}=\sqrt{\pi}$

$latex ||1||=\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx}=\sqrt{2\pi}$

Verificam-se, portanto, as seguintes relações de ortogonalidade:

$latex \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos qx\; dx=\delta_{pq}$

$latex \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\sin qx\; dx=\delta_{pq}$

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\sin qx\; dx=\delta_{pq}$

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos kx\; dx=0$

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin kx\; dx=0$

ou na notação das funções ortogonais $latex \phi_n$, em que

$latex \phi_0(x)=1$

$latex \phi_{2n-1}(x)=\cos nx$

$latex \phi_{2n}(x)=\sin nx,$

estas relações exprimem-se por

$latex ||\phi_0||=||1||=\sqrt{2\pi}$

$latex ||\phi_{2n-1}||=||\cos nx||=\sqrt{\pi}$

$latex ||\phi_{2n}||=||\sin nx||=\sqrt{\pi}$.

A partir das relações a seguir indicadas entre os coeficientes $latex c_n$ e $latex a_n,b_n$ podemos calcular o valor destes últimos pela fórmula geral

$latex c_n=\dfrac{(f\cdot\overline{\phi_n})}{||\phi_n||^2}$.

Como os coeficientes $latex c_n$ são dados por

$latex c_0=\dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx$

$latex c_{2n-1}=a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx$

$latex c_{2n}=b_{2n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$

os coeficientes $latex a_n,b_n$ são então

$latex a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx$

$latex a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx$

$latex b_{2n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$.

2. Para a função $latex f$

$latex f(x)=\left\{\begin{array}{c}-1\qquad -\pi\le x<0\\+1\qquad 0<x\le-\pi\end{array}\right.$

tem-se

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2$

$latex a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{0} -1\; dx+\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\; dx=0$

$latex a_p=\dfrac{1}{\pi}\left[\displaystyle\int_{-\pi}^{0}-\cos px\; dx+\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos px\; dx\right]$

$latex =\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[-\sin px\right]_{-\pi}^{0}+\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\sin px\right]_{0}^{\pi}=0+0=0$.

A interpretação para este valor nulo do coeficiente $latex a_n$ é que sendo $latex f$ ímpar a função não precisa dos cosenos, que são funções pares. Quanto ao coeficiente $latex b_n$ tem-se

$latex b_p=\dfrac{1}{\pi}\left[\displaystyle\int_{-\pi}^{0}-\sin px\; dx+\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin px\; dx\right]$

$latex =\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\cos px\right]_{-\pi}^{0}-\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\cos px\right]_{0}^{\pi}=0+0=0$

$latex =\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}{[1-(-1)^p]-[(-1)^p-1]}$

pelo que

$latex b_p=\left\{\begin{array}{l}0\qquad \text{se }p\text{\ par}\\\dfrac{4}{p\pi}\quad \text{se }p\text{ \'{\i}mpar}\end{array}\right.$

O desenvolvimento em série de Fourier da função $latex f$ é então

$latex f(x)=\dfrac{4}{\pi}\sin x+\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{3}\sin 3x+\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{5}\sin 5x+\cdots$.

O sistema é completo porque

$latex \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx=2\pi$

$latex \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}||c_n||^2||\phi_n||^2=\left(\dfrac{a_0}{2}\right)^2||1||^2+{a_1}^2||\cos x||^2+{b_1}^2||\sin x||^2+\cdots$

$latex =\left(\dfrac{4}{\pi}\right)^2\pi\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2}$ $latex =2\pi$.

Problema 6

Calcule os coeficientes da série trigonométrica de Fourier associada a cada uma das funções indicadas

$latex f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\qquad -\pi\leq x<-\pi /2\\1\qquad\;\;-\pi /2\leq x<-\pi/2\\\text{0}\qquad\qquad\pi/2\leq x\leq\pi\end{array}\right.$

$latex f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\qquad -\pi\leq x<0\\1\qquad 0\leq x<\pi\end{array}\right.$

$latex f(x)=\left\{\begin{array}{l}-mx\qquad -\pi\leq x\leq 0\\mx\qquad 0\leq x\leq \pi\end{array}\right.$

$latex f(x)=mx\qquad 0<x\le 2\pi$

Respostas

$latex a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx$ $latex =1$

$latex a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx$ $latex =\dfrac{2}{n\pi}\sin\dfrac{n\pi}{2}$

$latex b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$ $latex =0$

$latex a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx$ $latex =1$

$latex a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx$ $latex =0$

$latex b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$ $latex =\dfrac{1}{n\pi}(-\cos n\pi+1)$

$latex a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx$ $latex =0$

$latex a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx$ $latex =-\dfrac{2}{\pi}\dfrac{m}{n^2}+\dfrac{2}{\pi}\dfrac{m\cos n\pi}{n^2}$

$latex b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$ $latex =0$

$latex a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\; dx$ $latex =2m\pi$

$latex a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx\; dx$ $latex =0$

$latex b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nx\; dx$ $latex =-2\dfrac{m}{n}$

Problema 7

Faça, para a função

$latex f(x)=$ $latex \left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.$

do problema 6.1, a representação gráfica da soma parcial da respectiva série para um número crescente de harmónicas.

Resolução

$latex f(x)\sim\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi }\cos x-\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{3}\cos 3x+\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{5}\cos 5x-\cdots$ $latex +\dfrac{2}{(2m+1)\pi }\sin \dfrac{(2m+1)\pi}{2}\cos \left( 2m+1\right)+\cdots$

Primeiras somas parciais de da série de Fourier representativa da função $latex f(x)$

$latex \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}\cos x-\dfrac{2}{3\pi}\cos3x+\dfrac{2}{5\pi}\cos5x-\dfrac{2}{7\pi}\cos7x+\cdots $

Gráfico da função $latex f(x)$ -- onda quadrada (a vermelho) no intervalo $latex \lbrack -\pi ,\pi \rbrack$ -- e as somas parciais dos cinco primeiros termos da sua série de Fourier

$latex f(x)=$ $latex \dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)$

Em virtude de $latex f\left( x\right) $ ser par $latex b_{n}=0$

$latex f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx$

Os coeficientes $latex a_{n}$ são

$latex a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{+\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\cdots $

$latex a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\;dx=1$

$latex a_{1}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos x\;dx=\dfrac{2}{\pi }$

$latex a_{3}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 3x\;dx=-\dfrac{2}{3\pi }$

$latex a_{5}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 5x\;dx=\dfrac{2}{5\pi }$

$latex a_{7}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 7x\;dx=-\dfrac{2}{7\pi }$

$latex a_{2}=a_{4}=a_{6}=\cdots =a_{2n}=0$

Valor médio

$latex \dfrac{1}{2}$

Fundamental

$latex \dfrac{2}{\pi }\cos x$

3ª harmónica

$latex -\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{3}\cos 3x$

5ª harmónica

$latex \dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{5}\cos 5x$

7ª harmónica

$latex -\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{7}\cos 7x$

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

Algumas propriedades dos coeficientes de Fourier

Se $latex f(x)$ for par: $latex f(x)=f(-x)$, $latex b_n=0$
Se $latex f(x)$ for ímpar: $latex f(x)=-f(-x)$, $latex a_n=0$
Se $latex f(x)$ tiver duas alternância, sendo uma a imagem num espelho da outra: $latex f(x)=-f(x+\pi)$, $latex a_n=b_n=0$, para $latex n$ par
Se $latex f(x)$ for periódica de período $latex \pi$: $latex f(x)=-f(x+\pi)$, $latex a_n=b_n=0$, para $latex n$ ímpar.

Problema 8

Demonstre que qualquer função $latex f(x)$ definida no intervalo $latex \lbrack 0,\pi \rbrack$ e satisfazendo as condiçoes de Dirichlet neste intervalo é representável pela série

$latex \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin nx$

para $latex x\in\lbrack 0,\pi \rbrack$, que esta série converge para

$latex \dfrac{1}{2}\lbrack f(x^{+})+f(x^{-})\rbrack$

e escreva a expressão dos coeficientes $latex c_n$.

Resposta

$latex c_n=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$

Séries de Fourier 6 - Problemas III

Américo Tavares — Wed, 16 Jul 2008 10:22:24 +0000

Continuação de Séries de Fourier 5 - Problemas II

Problema 7

Faça, para a função

$latex f(x)=$ $latex \left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.$

do problema 6.1, a representação gráfica da soma parcial da respectiva série para um número crescente de harmónicas.

Resolução

Primeiras somas parciais de da série de Fourier representativa da função $latex f(x)$

$latex \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}\cos x-\dfrac{2}{3\pi}\cos3x+\dfrac{2}{5\pi}\cos5x-\dfrac{2}{7\pi}\cos7x+\cdots $

Gráfico da função $latex f(x)$ -- onda quadrada (a vermelho) no intervalo $latex \lbrack -\pi ,\pi \rbrack$ -- e as somas parciais dos cinco primeiros termos da sua série de Fourier

$latex f(x)=$ $latex \dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)$

Em virtude de $latex f\left( x\right) $ ser par $latex b_{n}=0$

$latex f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx$

Os coeficientes $latex a_{n}$ são

$latex a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{+\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\cdots $

$latex a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\;dx=1$

$latex a_{1}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos x\;dx=\dfrac{2}{\pi }$

$latex a_{3}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 3x\;dx=-\dfrac{2}{3\pi }$

$latex a_{5}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 5x\;dx=\dfrac{2}{5\pi }$

$latex a_{7}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 7x\;dx=-\dfrac{2}{7\pi }$

$latex a_{2}=a_{4}=a_{6}=\cdots =a_{2n}=0$

Valor médio

$latex \dfrac{1}{2}$

Fundamental

$latex \dfrac{2}{\pi }\cos x$

3ª harmónica

$latex -\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{3}\cos 3x$

5ª harmónica

$latex \dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{5}\cos 5x$

7ª harmónica

$latex -\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{7}\cos 7x$

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

Algumas propriedades dos coeficientes de Fourier

Se $latex f(x)$ for par: $latex f(x)=f(-x)$, $latex b_n=0$
Se $latex f(x)$ for ímpar: $latex f(x)=-f(-x)$, $latex a_n=0$
Se $latex f(x)$ tiver duas alternância, sendo uma a imagem num espelho da outra: $latex f(x)=-f(x+\pi)$, $latex a_n=b_n=0$, para $latex n$ par
Se $latex f(x)$ for periódica de período $latex \pi$: $latex f(x)=f(x+\pi)$, $latex a_n=b_n=0$, para $latex n$ ímpar.

Problema 8

Demonstre que qualquer função $latex f(x)$ definida no intervalo $latex \lbrack 0,\pi \rbrack$ e satisfazendo as condiçoes de Dirichlet neste intervalo é representável pela série

$latex \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin nx$

para $latex x\in\lbrack 0,\pi \rbrack$, que esta série converge para

$latex \dfrac{1}{2}\lbrack f(x^{+})+f(x^{-})\rbrack$

e escreva a expressão dos coeficientes $latex c_n$.

Resposta

$latex c_n=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$

Séries de Fourier 5 - Problemas II

Américo Tavares — Thu, 10 Jul 2008 15:51:57 +0000

Continuação de Séries de Fourier 4 - Problemas