$latex ab\le n^2\le(a+c)(b+d)$.

Solusi
Asumsikan sebaliknya, sehingga $latex ab$ dan $latex (a+c)(b+d)$ berada di antara dua bilangan kuadrat berurutan. Karena $latex ab<(a+c)(b+d)$ kita punya bilangan asli $latex k$ sehingga

$latex k^2<ab<(a+c)(b+d)<(k+1)^2$.

Perhatikan bahwa $latex (a+c)(b+d)-ab<(k+1)^2-k^2$ sehingga $latex ad+bc+1<2k+1$ atau $latex ad+bc<2k$. Dengan AM-GM, kita punya $latex k>\sqrt{abcd}$. Tetapi, $latex k^2<ab=abcd$ menyebabkan $latex k<\sqrt{abcd}$. Kontradiksi. Maka terbukti.

$latex f (x^{3}+y^{3}) = x^{2}f (x)+yf (y^{2})$

untuk setiap $latex x,y\in\mathbb{R}$.

Solusi
$latex x=0,y=0$ memberikan $latex f(0)=0$.

$latex y=0$ memberikan $latex f(x^3)=x^2f(x)$ sedangkan $latex x=0$ memberikan $latex f(y^3)=yf(y)^2$.

Jadi $latex f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3)$ atau $latex f(z+w)=f(z)+f(w)$.

Karena $latex x^2f(x)=xf(x^2)$, maka $latex f(x^2)=xf(x)$ untuk $latex x\ne0$.

Untuk $latex x=\ne-1$, $latex f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)(f(x)+f(1))=xf(x)+xf(1)+f(x)+f(1)$.

Tetapi $latex f((x+1)^2)=f(x^2+x+x+1)=f(x^2)+f(x)+f(x)+f(1)=xf(x)+2f(x)+f(1)$.

Kedua persamaan terakhir menyebabkan $latex f(x)=xf(1)$ untuk $latex x\ne0,-1$. Perhatikan bahwa $latex f(0)=0$ dan $latex f(-1)=-f(1)$. Jadi $latex f(x)=xf(1)$ untuk setiap bilangan real $latex x$. Jadi $latex f(x)=ax$ untuk suatu konstanta $latex a$.

Solusi
Misalkan $latex x_1,\ldots,x_{2008}$ adalah akar-akar $latex P(x)$. Jika semua akarnya kurang dari 2007, maka $latex P(2008)=(2008-x_1)(2008-x_2)\ldots(2008-x_{2008})>1$. Jadi ada akar yang $latex \ge 2007$. Misalkan akar ini $latex a\ge2007$. Jadi $latex x^2+2x+2008=a$ harus memiliki akar real. Ini jelas karena akarnya $latex x=-1\pm\sqrt{a-2007}$ pasti bilangan real. Terbukti.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex x(1+x+\ldots+x^{n-1})=39$, yang menyebabkan $latex x|39$. Jadi $latex x=1,3,13,39$. Setelah diperiksa satu-persatu, didapat $latex (x,n)=(1,39),(3,3),(39,1)$.

Solusi
Misalkan $latex y=x^2+18x+30$, sehingga $latex y=2\sqrt{y+15}$. Kuadratkan menjadi $latex y^2=4y+60$ atau $latex y^2-4y-60=0$, yang menyebabkan $latex (y+6)(y-10)=0$. Jika $latex y=-6$, maka $latex x^2+18x+36=-6$, yang tidak memiliki akar real. Jika $latex y=10$, maka $latex x^2+18x+20=0$, yang memiliki hasil kali akar-akar $latex 10$.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex |x-p|=x-p,|x-15|=15-x,|x-p-15|=p+15-x$. Jadi $latex f(x)=30-x$. Nilai minimum $latex f(x)$ jika $latex x$ maksimum, yaitu $latex f(x)=30-15=15$.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex ^w\log x=\frac1{24},^w\log y=\frac1{40},^w\log xyz=\frac{1}{12}$. Persamaan yang terakhir menyebabkan $latex ^w\log x+^w\log y+^w\log z=\frac{1}{12}$. Maka $latex ^w\log z=\frac1{60}$ dan $latex ^z\log w=60$.

$latex 2\le a^2+b^2+c^2+d^2\le4$.

Solusi
Perhatikan bahwa, dengan teorema Pythagoras, $latex a^2+b^2+c^2+d^2=x^2+(1-x)^2+y^2+(1-y)^2+u^2+(1-u)^2+v^2+(1-v)^2$. Karena $latex x^2+(1-x)^2=2((x-\frac12)^2+\frac14)$, dan $latex 0\le x\le1$, maka $latex \frac12\le x^2+(1-x)^2\le1$. Hal yang sama berlaku untuk $latex y,u,v$, sehingga setelah dijumlahkan didapat ketaksamaan yang diminta.

kesamaan terjadi.

<!--more Lihat Solusi -->

Solusi
Karena $latex \triangle AEC\sim\triangle BDC$, maka $latex \frac{h}b=\frac{k}a$, atau $latex 2ah=2kb$. Karena $latex b^2+k^2<(CD)^2+k^2=a^2<a^2+h^2$, maka $latex b^2+k^2+2kb<a^2+h^2+2ah$, yaitu $latex (b+k)^2<(a+h)^2$, sehingga $latex b+k<a+h$. Jadi kesamaan tidak pernah terjadi.

Solusi
Kita punya $latex x+yz=2,y+zx=2,z+xy=2$. Kurangkan persamaan pertama dari kedua: $latex (x-y)(1-z)=0$, kurangkan persamaan kedua dari ketiga: $latex (y-z)(1-x)=0$. Ada empat kasus: (i) $latex x=y,y=z$, (ii) $latex x=y,1=x$, (iii) $latex 1=x,y=z$, $latex 1=z,1=x$. Keempat kasus ini menyebabkan $latex x=y=z=1$ atau $latex x=y=z=-2$.

$latex \displaystyle\left(\frac{a_1}{b_1}\right)^2=\frac{p_1a_1^n+p_2a_2^n+p_3a_3^n}{p_1b_1^n+p_2b_2^n+p_3b_3^n}$.

Solusi

Misalkan $latex a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3=r$. Maka $latex \displaystyle\left(\frac{a_1}{b_1}\right)^n=r^n$, sedangkan $latex \dfrac{p_1a_1^n+p_2a_2^n+p_3a_3^n}{p_1b_1^n+p_2b_2^n+p_3b_3^n}=\dfrac{p_1(rb_1)^n+p_2(rb_2)^n+p_3(rb_3)^n}{p_1b_1^n+p_2b_2^n+p_3b_3^n}=r^n$. Maka terbukti.

Solusi
Kita akan membuktikan ada $latex x$ sehingga $latex \displaystyle\frac1n\sum_{k=1}^n|x-x_i|=\frac12$. Misalkan $latex f(x)=\displaystyle\frac1n\sum_{k=1}^n|x-x_i|$. Perhatikan bahwa $latex f(0)=\frac1n\sum x_i$, sedangkan $latex f(1)=\frac1n\sum(1-x_i)=\frac1n(n-\sum x_i)=1-f(0)$. Jadi $latex f(0)+f(1)=1$. Jadi satu dari $latex f(0)$ dan $latex f(1)$ tidak kurang dari $latex \frac12$ dan satu lagi tidak lebih dari $latex \frac12$. Karena fungsi $latex f(x)$ kontinu, pasti ada nilai $latex x$ di $latex \displaystyle\left[0,1\right]$ yang memenuhi $latex f(x)=\frac12$. Maka terbukti.

$latex f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+1$.

Jika $latex f(x)=0$ memiliki $latex n$ akar real, buktikan bahwa $latex f(2)\ge3^n$.

Solusi
Karena semua koefisiennya positif, jika $latex x$ tidak negatif, maka $latex f(x)$ juga positif. Jadi jika $latex f(x)=0$ maka $latex x$ negatif. Semua akar-akar $latex f(x)=0$ negatif, misalkan $latex -r_1,-r_2,-r_3,\ldots,-r_n$. Maka $latex f(x)=(x+r_1)(x+r_2)(x+r_3)\ldots(x+r_n)$.

Dengan teorema Vieta, kita punya koefisien $latex a_k=\sum r_{i1}+r_{i2}+r_{i3}+\ldots+r_{ik}$. Koefisien terakhir adalah $latex r_1r_2r_3\ldots r_n=1$.

Gunakan AM-GM untuk mendapat

$latex \displaystyle\frac{a_k}{\binom{n}{k}}=\frac{\sum r_{i1}+r_{i2}+r_{i3}+\ldots+r_{ik}}{\binom{n}{k}}\ge\left(\prod r_{i1}r_{i2}r_{i3}\ldots r_{ik}\right)^{1/\binom{n}k}$.

Sehingga kita dapat $latex \displaystyle a_k\ge{\binom{n}{k}}\left(\prod r_{i1}r_{i2}r_{i3}\ldots r_{ik}\right)^{1/\binom{n}k}$. Tetapi $latex \prod r_{i1}r_{i2}r_{i3}\ldots r_{ik}=1$, sehingga $latex a_k\ge\binom{n}k$.

Jadi

$latex \displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^{n-k}\ge\sum_{k=0}^n\binom{n}kx^{n-k}$.

Untuk $latex x=2$, kita punya

$latex \displaystyle f(2)\ge\sum_{k=0}^n\binom{n}k2^{n-k}$.

Dengan teorema binomial, ruas kanan sama dengan $latex \displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}k1^k2^{n-k}=(1+2)^n=3^n$. Maka terbukti.

Solusi
$latex x^{100}=(x-1)f(x)+1$, maka $latex x^{100k}\equiv1\pmod{f(x)}$. Setiap suku yang dijumlahkan pada $latex f(x^{100})$ adalah $latex \equiv1\pmod{f(x)}$, jadi sisanya adalah $latex 100$.

$latex y^2-(x+8)(x^2+2)=0$

$latex y^2-(8+4x)y+(16+16x-5x^2)=0$

Solusi
Substitusikan $latex y^2=(x+8)(x^2+2)$ pada persamaan kedua, menjadi

$latex x^3+8x^2+2x+16+16+16x-5x^2=4y(x+2)$

$latex (x+2)(x^2+x+16-4y)=0$

Kita dapat $latex x=-2$, dari nilai $latex x$ ini, kita dapat $latex y=\pm 6$

Lalu , sekarang lihat

$latex x^2+x=16=4y$

Kuadratkan kedua ruas, kita dapat $latex 16y^2=x^4+2x^3+33x^2+32x+256$

Lalu dari persamaan pertama, kita punya $latex 16y^2=16^63+128x^2+32x+256$

Kurangkan kedua persamaan di atas, kita dapat

$latex x^4-14x^3-95x^2=x^2(x-19)(x+5)=0$, kita dapat $latex x=0,-5,19$

Dengan mensubstitusikan nilai $latex x$ pada $latex x^2+x+16=4y$, kita dapat $latex (x,y)=(0,4),(-5,9),(19,99)$

Jadi, semua solusi dari sistem persamaan tersebut adalah $latex (x,y)=(-2,-6),(-2,6),(0,4),(-5,9),(19,99)$

Dan dapat dicek bahwa semua solusi di atas memenuhi persamaan pada soal

Solusi
Perhatikan bahwa $latex 0=1+a+a^2+a^3=(1+a+a^2+a^3)(1-a)=1-a^4$. Maka $latex a^4=1$. Dengan cara yang sama didapat $latex b^4=1,c^4=1$. Maka $latex a^{2007}+b^{2003}+c^{1999}=a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$. Dengan rumus Vieta, didapat $latex a+b+c-1,ab+bc+ca=1,abc=-1$. Maka $latex a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca=-1$. Maka jawabannya $latex (-1)(-1-1)+3(-1)=-1$.

Solusi
$latex \sqrt {x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {\cdots + \sqrt {4^{2008}x + 3}}}}} - \sqrt {x} = 1$

$latex \sqrt {x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {\cdots + \sqrt {4^{2008}x + 3}}}}} = 1 +\sqrt{x}$

$latex \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {\cdots + \sqrt {4^{2008}x + 3}}}} = 1 +2\sqrt{x}$

$latex \sqrt {16x + \sqrt {\cdots + \sqrt {4^{2008}x + 3}}} = 1+4\sqrt{x}$

Dan seterusnya, sampai

$latex \sqrt{4^{2008}x+3}=1+2^{2008}\sqrt{x}$. Kuadratkan sehingga $latex 4^{2008}x+3=1+2^{2009}\sqrt{x}+4^{2008}x$, sehingga $latex x=\dfrac{1}{2^{4016}}$.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex f(1\cdot2)=f(1)f(2)$ menyebabkan $latex f(1)=1$. Tetapi $latex f(2n)=f(2)f(n)=2f(n)$, sehingga $latex f(2^k)=2^k$ untuk setiap bilangan asli $latex k$. Perhatikan bahwa $latex 2^k=f(2^k)<f(2^k+1)<f(2^k+2)<\ldots<f(2^{k+1}-1)<f(2^{k+1})=2^{k+1}$. Maka kita punya barisan naik $latex f(2^k),f(2^k+1),f(2^k+2),\ldots,f(2^{k+1})$ yang nilainya adalah bilangan-bilangan dari $latex 2^k$ sampai $latex 2^{k+1}$. Maka $latex f(n)=n$ untuk $latex 2^k\le n\le 2^{k+1}$. Tetapi ini benar untuk $latex k$ bilangan asli sehingga benar juga untuk $latex n\ge2$. Jadi $latex f(x)=x$.

Solusi
Misalkan $latex 2^{111x}=r$. Jika akar-akarnya adalah $latex x_1,x_2,x_3$, maka $latex r_1\cdot r_2\cdot r_3=2^{111(x_1+x_2+x_3)}$. Persamaan pada soal menjadi $latex \dfrac{r^3}{4}+4r=2r^2+1$, atau $latex r^3-8r^2+16r+4=0$. Dengan teorema Vieta, didapat $latex r_1\cdot r_2\cdot r_3=4$, sehingga $latex 4=2^{111(x_1+x_2+x_3)}$. Maka $latex x_1+x_2+x_3=\dfrac{2}{111}$, sehingga didapat $latex m+n=113$.

Solusi
Substitusi $latex x=10,y=5$, sehingga $latex f(10)+f(25)+250=f(25)+200+1$, sehingga $latex f(10)=-49$.

Solusi
$latex (x+1)(2x+1)(3x-1)(6x-1)=0$, sehingga $latex x=-1,-\frac12,\frac13,\frac16$.

Untuk menghitung rata-rata gabungan tentunya sangat mudah, yaitu dengan menghitung kembali jumlah seluruh data dari banyaknya data dan rata-rata.

rata-rata = jumlah_nilai / banyaknya_data
yang ekivalen dengan
rata-rata * banyaknya_data = jumlah_nilai

selanjutnya kita menjumlahkan jumlah_nilai dari seluruh data menjadi jumlah_nilai_gabungan dan banyaknya_data menjadi banyaknya_data_gabungan sehingga untuk menghitung rata-rata_gabungan cukup menggunakan persamaan

rata-rata_gabungan = jumlah_nilai_gabungan / banyaknya_data_gabungan

Lalu bagaimana caranya menghitung standar deviasi gabungan?

Seperti kita merekonstruksi jumlah_nilai dari banyaknya_data dan rata-rata, maka sesuai dengan persamaan di tulisan terdahulu maka kita perlu merekonstruksi nilai dari variabel jumlah dari kuadrat nilai (sum of square)

misalkan :

n = banyaknya data
sum = jumlah nilai
m = rata-rata nilai dari n
sumsq = jumlah dari kuadrat nilai
s = standar deviasi

diketahui persamaan:

1. m = sum / n
2. s² = (n * sumsq - sum²) / ( n * (n - 1))

maka nilai sumsq dapat diketahui dari persamaan:
(s² * n * (n - 1) + sum²) / n = sumsq

dari persamaan (1) maka nilai sum dapat disubtitusi dengan
m * n

maka persamaan tadi menjadi
(s² * n * (n - 1) + m² * n²) / n = sumsq

distribusi n ditarik keluar sehingga menjadi
(s² * (n - 1) + m² * n) = sumsq

nah, dari sini kita perlu mendefinisikan nilai-nilai gabungan yaitu

n' = n₁ + n₂ + n₃ + ... + n_k

yang berlaku juga untuk variabel sum dan sumsq

oleh sebab itu untuk menghitung standar deviasi gabungan dilakukan dengan menggunakan persamaan

s'² = (n' * sumsq' - sum'²) / (n' * (n' - 1))

Solusi
Turunan pertamanya $latex 3x^2+p=0$ memiliki dua akar real. Maka $latex p=-3x^2<0$. Terbukti.

Solusi
Misalkan terdapat $latex m$ bilangan $latex -3$. Maka

$latex (-3)^2+(-3)^2+(-3)^2+\ldots+(-3)^2+(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2+\ldots+(-1)^2=280$,

di mana terdapat $latex m$ kali $latex (-3)^2$ dan $latex (88-m)$ kali $latex (-1)^2$, sehingga

$latex (-3)^2m+(-1)^2(88-m)=280$

atau

$latex 9m+88-m=280$,

sehingga $latex m=24$. Jadi ada 24 bilangan -3 dan 64 bilangan -1. Jadi, nilai yang dicari adalah $latex 24\cdot(-3)^4+64\cdot(-1)^4=2008$.

Solusi
Kurangkan kedua persamaan, sehingga $latex \sin y-2008\cos y=1$. Tetapi $latex 1\ge\sin y=1+2008\cos y\ge1$. Maka kesamaan terjadi, yaitu $latex \sin y=1$, menyebabkan $latex y=\pi/2$ dan $latex x=2007$. Maka $latex x+y=2007+\dfrac{\pi}{2}$.